Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica.
Res: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz dada por:
O exercício pede para calcular os autovalores dessa matriz e discutir sobre a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um deles. Pra fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e autovalores. Autovalores são números que, quando aplicados à matriz, escalonam algum vetor sem mudar sua direção. Vamos descobrir quais são esses valores!
Passo 2
Primeiro, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz . A equação característica é dada por:
Onde representa o autovalor e é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Continuando a simplificação:
Primeiro, vamos expandir :
Então:
Agora, vamos expandir :
Agrupando termos semelhantes:
Agora, voltando à expressão anterior:
Então, a equação característica fica:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Podemos testar possíveis valores racionais que dividem o termo constante 54, como 3, 6, etc.
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar a equação:
Agora, resolvemos a quadrática :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Portanto, os autovalores são e (com multiplicidade).
Passo 6
Agora, vamos falar sobre as multiplicidades algébrica e geométrica:
Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que um autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui, apareceu duas vezes, então sua multiplicidade algébrica é 2. Já apareceu uma vez, então sua multiplicidade algébrica é 1.
Multiplicidade Geométrica: É o número de vetores próprios linearmente independentes associados a um autovalor. Para matrizes simétricas como essa, a multiplicidade geométrica sempre é igual à multiplicidade algébrica. Então, tem multiplicidade geométrica 2 e tem multiplicidade geométrica 1.
Resposta
Os autovalores da matriz são com multiplicidade algébrica e geométrica 1, e com multiplicidade algébrica e geométrica 2.