Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral-infty d xx 2+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria: .
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções racionais do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula básica de integração:
integral dxx^2 + a^2 = 1a arctan(xa) + C
Essa fórmula nos diz como integrar funções que têm uma expressão quadrática no denominador.

Passo 3

No nosso caso, a expressão é a = raiz7 . Podemos comparar com a fórmula e identificar que , então:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula com integral dxx^2 + 7 = 1raiz7 arctan(xraiz7) + C :

Passo 5

Como a integral é de integral-infty^infty dxx^2 + 7 = 1raiz7 [ arctan(inftyraiz7) - arctan(-inftyraiz7) ] até , precisamos calcular os limites:

Passo 6

Sabemos que 1raiz7 ( pi2 - (-pi2) ) = 1raiz7 ( pi2 + pi2 ) = 1raiz7 cdot pi = piraiz7 e . Substituindo:

Resposta

integral-infty^infty dxx^2 + 7 = piraiz7

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