Determine a solucal
e { y' - y = 2 t e^(2 t) ; y(0) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de equação diferencial do tipo linear de primeira ordem, e precisamos encontrar a solução que satisfaz a condição inicial . Para isso, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão:
Aqui, a gente identifica e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Isso acontece porque:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula :

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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