x(1)(t) = (e^(-t), 2 e^(-t)), x(2)(t) = (e^(-t), e^(-t)), x(3)(t) = (3 e^(-t), 0)
Se for linearmente dependente, encontre uma relação linear entre os vetores. Note que os vetores estão escritos como linhas para economizar espaço. Res: x^(1)(t) = 2 x^(2)(t) - 1/3 x^(3)(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três vetores, cada um dependendo do tempo . A pergunta quer saber se esses vetores são linearmente dependentes, ou seja, se dá para escrever um deles como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear e como encontrar essa relação entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Se a gente consegue encontrar coeficientes não todos zero que, quando multiplicados pelos vetores, somam zero, então eles são dependentes. Mas aqui a questão quer mais: se são dependentes, encontrar uma relação específica entre eles.

Passo 3

Vamos escrever os vetores que temos:
Queremos descobrir se existe uma combinação dos vetores e que resulte em .

Passo 4

Vamos supor que existe uma relação do tipo:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 5

Substituindo os vetores na equação:
Vamos distribuir os coeficientes:
Isso nos dá duas equações:

Passo 6

Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Agora, substituímos na primeira equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A relação linear entre os vetores é:

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