Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral imprópria de 1 até o infinito de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias. Precisamos verificar se a integral é convergente e, se for, calcular seu valor.
Passo 2
Vamos começar calculando a integral definida até um limite qualquer , e depois tirar o limite quando tende ao infinito. Isso é uma técnica comum para resolver integrais impróprias. Então, temos:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a :
Multiplicando pelo fator :
Passo 5
Voltando à variável original , onde , a antiderivada é:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :