Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral 1infty d x(2 x-3) 2

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral imprópria de 1 até o infinito de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias. Precisamos verificar se a integral é convergente e, se for, calcular seu valor.

Passo 2

Vamos começar calculando a integral definida até um limite qualquer integral1^b dx(2x - 3)^2 , e depois tirar o limite quando tende ao infinito. Isso é uma técnica comum para resolver integrais impróprias. Então, temos:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 , du , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C em relação a 12 cdot (-1u) + C = -12u + C :
Multiplicando pelo fator :

Passo 5

Voltando à variável original -12(2x - 3) + C , onde , a antiderivada é:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a -12(2b - 3) + 12(2 cdot 1 - 3) = -12(2b - 3) + 12(-1) = -12(2b - 3) - 12 :

Passo 7

Vamos calcular o limite quando limb to infty ( -12(2b - 3) - 12 ) = 0 - 12 = -12 tende ao infinito:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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