Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral imprópria de 1 até o infinito de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias. Precisamos verificar se a integral é convergente e, se for, calcular seu valor.
Passo 2
Vamos começar calculando a integral definida até um limite qualquer
, e depois tirar o limite quando
tende ao infinito. Isso é uma técnica comum para resolver integrais impróprias. Então, temos:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 5
Voltando à variável original
, onde
, a antiderivada é:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Passo 7
Vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A integral imprópria converge e seu valor é
.