Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral imprópria de 1 até o infinito de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias. Precisamos verificar se a integral é convergente e, se for, calcular seu valor.

Passo 2

Vamos começar calculando a integral definida até um limite qualquer , e depois tirar o limite quando tende ao infinito. Isso é uma técnica comum para resolver integrais impróprias. Então, temos:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a :
Multiplicando pelo fator :

Passo 5

Voltando à variável original , onde , a antiderivada é:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :

Passo 7

Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica.
Res: .
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente, inverta a ordem de integração.
Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica. Res: