Vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Para isso, precisamos entender como decompor a solução em funções que atendem às condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, t) = X(x)T(t) pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de X''(x)T(t) = X(x)T''(t) e de X''(x)X(x) = T''(t)T(t) = -lambda :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Substituindo na equação diferencial, temos:
T''(t) + lambda T(t) = 0
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Passo 3
Agora, aplicamos as condições de contorno X''(x) + lambda X(x) = 0 à solução.
Como Xn(x) = sin(npi x) e , isso implica que e .
Resolvendo a equação para :
A solução não-trivial ocorre quando , onde é um inteiro positivo. Assim, as funções próprias são:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para T''(t) + n^2pi^2 T(t) = 0 usando Tn(t) = An cos(npi t) + Bn sin(npi t) :
A solução geral dessa equação é:
Passo 5
Portanto, a solução geral para u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi t) + Bn sin(npi t) ] sin(npi x) é uma soma de todas essas soluções:
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais para determinar u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(npi x) = 0 e .
Primeiro, :
Isso implica que para todos os .
Passo 7
Em seguida, usamos a condição partial upartial t = sumn=1^infty [ Bn npi cos(npi t) ] sin(npi x) :