b) lpartial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2, 00 u(0, t)=0, u(1, t)=0 u(x, 0)=0,partial upartial t|t=0=2 sen pi x+4 sen 3 pi x

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial do tipo:
partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < 1, t > 0
Com condições de contorno:
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0
E condições iniciais:
u(x, 0) = 0, partial upartial t|t=0 = 2 sin(pi x) + 4 sin(3pi x)
Vamos resolver essa equação usando o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Para isso, precisamos entender como decompor a solução em funções que atendem às condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução u(x, t) = X(x)T(t) pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de X''(x)T(t) = X(x)T''(t) e de X''(x)X(x) = T''(t)T(t) = -lambda :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Substituindo na equação diferencial, temos:
T''(t) + lambda T(t) = 0
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:

Passo 3

Agora, aplicamos as condições de contorno X''(x) + lambda X(x) = 0 à solução.
Como Xn(x) = sin(npi x) e , isso implica que e .
Resolvendo a equação para :
A solução não-trivial ocorre quando , onde é um inteiro positivo. Assim, as funções próprias são:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para T''(t) + n^2pi^2 T(t) = 0 usando Tn(t) = An cos(npi t) + Bn sin(npi t) :
A solução geral dessa equação é:

Passo 5

Portanto, a solução geral para u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(npi t) + Bn sin(npi t) ] sin(npi x) é uma soma de todas essas soluções:

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais para determinar u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(npi x) = 0 e .
Primeiro, :
Isso implica que para todos os .

Passo 7

Em seguida, usamos a condição partial upartial t = sumn=1^infty [ Bn npi cos(npi t) ] sin(npi x) :
partial upartial t|t=0 = sumn=1^infty Bn npi sin(npi x) = 2 sin(pi x) + 4 sin(3pi x)
Avaliando em :

Passo 8

Comparando os coeficientes das funções seno, temos:
Para B1 pi = 2 implies B1 = 2pi :
B3 3pi = 4 implies B3 = 43pi
Para Bn = 0 :
Para :

Passo 9

Finalmente, substituímos u(x, t) = ( 2pi sin(pi x) sin(pi t) ) + ( 43pi sin(3pi x) sin(3pi t) ) e na solução geral:

Resposta

A solução da equação dada é:
u(x, t) = 2pi sin(pi x) sin(pi t) + 43pi sin(3pi x) sin(3pi t)

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