Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação de Laplace em uma região retangular, especificamente no retângulo partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 e . A equação que estamos trabalhando é:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais parciais (EDPs) e, mais especificamente, a equação de Laplace.
O que precisaremos: Técnica de separação de variáveis para resolver a equação, além de aplicar as condições de contorno fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de resolver EDPs assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma variável cada.
Assumimos que:
u(x, y) = X(x)Y(y)
Passo 3
Substituímos partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0 na equação de Laplace:
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Dividindo ambos os lados por X''(x)X(x) = -Y''(y)Y(y) = lambda :
Isso pode ser rearranjado para:
Onde é uma constante de separação.
Passo 4
Agora temos duas equações ordinárias:
Para X''(x) - lambda X(x) = 0 :
Y''(y) + lambda Y(y) = 0
Para :
Precisamos resolver essas equações considerando as condições de contorno.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver para X(0) = 0 e X(a) = 0 com as condições de contorno X(x) = A sin(npi xa) , que implicam:
A solução geral para é:
Onde é um número inteiro positivo, e .
Passo 6
Agora, resolvemos para Y''(y) + (npia)^2 Y(y) = 0 com Y(y) = B cosh(npi ya) + C sinh(npi ya) :
A solução geral é:
Passo 7
Aplicamos a condição de contorno partial upartial y = X(x) Y'(y) :
Primeiro, derivamos X(x) Y'(0) = 0 implies Y'(0) = 0 em relação a Y'(y) = npia ( B sinh(npi ya) + C cosh(npi ya) ) :
Y'(0) = npia C = 0 implies C = 0
Aplicando Y(y) = B cosh(npi ya) :
Calculando :
Em :
Então, a solução para fica:
Passo 8
Agora, nossa solução geral fica:
u(x, y) = sumn=1^infty An sin(npi xa) cosh(npi ya)
Precisamos determinar os coeficientes usando a última condição de contorno .
Passo 9
Aplicamos f(x) = sumn=1^infty An sin(npi xa) cosh(npi ba) :
integral0^a f(x) sin(mpi xa) dx = Am cosh(mpi ba) a2
Para encontrar Am = 2a cosh(mpi ba) integral0^a f(x) sin(mpi xa) dx , multiplicamos ambos os lados por e integramos de a :
Portanto,
Resposta
A solução da equação de Laplace com as condições de contorno dadas é: