Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação de Laplace em uma região retangular, especificamente no retângulo e . A equação que estamos trabalhando é:
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais parciais (EDPs) e, mais especificamente, a equação de Laplace.
O que precisaremos: Técnica de separação de variáveis para resolver a equação, além de aplicar as condições de contorno fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma forma de resolver EDPs assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma variável cada.
Assumimos que:
Passo 3
Substituímos na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Isso pode ser rearranjado para:
Onde é uma constante de separação.
Passo 4
Agora temos duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Precisamos resolver essas equações considerando as condições de contorno.
Passo 5
Primeiro, vamos resolver para com as condições de contorno , que implicam:
A solução geral para é:
Onde é um número inteiro positivo, e .
Passo 6
Agora, resolvemos para com :
A solução geral é:
Passo 7
Aplicamos a condição de contorno :
Primeiro, derivamos em relação a :
Aplicando :
Calculando :
Em :
Então, a solução para fica:
Passo 8
Agora, nossa solução geral fica:
Precisamos determinar os coeficientes usando a última condição de contorno .
Passo 9
Aplicamos :
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por e integramos de a :
Portanto,
Resposta
A solução da equação de Laplace com as condições de contorno dadas é: