Calcule os limites abaixo:
lim x +infty 4 x^3+3 x+sen(x)3 x^3-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
limx to +infty 4x^3 + 3x + sin(x)3x^3 - x^2
Esse exercício está dentro do conteúdo de Limites no infinito, e para resolvê-lo a gente vai precisar entender como identificar os termos que mais influenciam o comportamento da função quando cresce sem limites. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador é .
Isso é importante porque, quando tende ao infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Ou seja, os outros termos (como , e ) ficam menos significativos comparados aos .

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos de maior grau no numerador e no denominador. Podemos reescrever a expressão dividindo todos os termos por 4x^3 + 3x + sin(x)3x^3 - x^2 = 4 + 3x^2 + sin(x)x^33 - 1x :

Passo 4

Vamos analisar o que acontece com cada termo à medida que 4 + 0 + 03 - 0 = 43 tende ao infinito:
  • tende a 0, porque cresce sem limites.
  • também tende a 0, já que está sempre entre -1 e 1, e cresce muito.
  • no denominador também tende a 0.
Então, nossa expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

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