Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem com a condição inicial . Aqui, a função é definida de forma diferente dependendo do valor de . Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral é . No nosso caso, e .
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante , que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Vamos considerar os dois casos para :
Para , :
Então, isolando :
Para , :
Isolando :
Passo 7
Aplicamos a condição inicial no primeiro intervalo ():
Então, a solução para é:
Passo 8
Para , precisamos garantir que a solução seja contínua em . Calculamos usando a solução do primeiro intervalo:
Agora, usamos esse valor como condição inicial para o segundo intervalo: