(b)
y' + 2y = f(x), y(0) = 1
onde f é dada por:
f(x) = { 1, 0 <= x <= 3; -1, x > 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem com a condição inicial . Aqui, a função é definida de forma diferente dependendo do valor de . Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral é . No nosso caso, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos considerar os dois casos para :
Para , :
Então, isolando :
Para , :
Isolando :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial no primeiro intervalo ( ):
Então, a solução para é:

Passo 8

Para , precisamos garantir que a solução seja contínua em . Calculamos usando a solução do primeiro intervalo:
Agora, usamos esse valor como condição inicial para o segundo intervalo:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

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