(b)
onde é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem com a condição inicial . Aqui, a função é definida de forma diferente dependendo do valor de . Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral é . No nosso caso, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos considerar os dois casos para :
Para , :
Então, isolando :
Para , :
Isolando :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial no primeiro intervalo ( ):
Então, a solução para é:

Passo 8

Para , precisamos garantir que a solução seja contínua em . Calculamos usando a solução do primeiro intervalo:
Agora, usamos esse valor como condição inicial para o segundo intervalo:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. .
Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(d) ;
(a)
onde é dada por:
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
3a
Dado entre e a área da seção transversal de em , perpendicular ao eixo , é .
3b
Uma expressão integral para o volume de é .