Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(d) ;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma região delimitada pelas curvas , , e . Nosso objetivo aqui é calcular o volume do sólido que resulta quando giramos essa região em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica em cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que a região se parece. Vamos traçar as curvas e no intervalo de a .
  • Para :
  • Para :
No intervalo , começa em 1 e diminui até , enquanto começa em 0 e aumenta até . A região fica entre essas duas curvas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Quando giramos a região em torno do eixo (que vamos assumir ser o eixo ), cada pequeno pedaço da região forma um disco com um certo raio.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, é a função de cima e é a função de baixo no intervalo de integração de a .

Passo 4

Identificando as funções:
  • (é a função que está em cima no intervalo considerado)
  • (é a função que está embaixo no mesmo intervalo)
  • Os limites de integração são e
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que:
Isso porque há uma identidade trigonométrica que relaciona o cosseno duplo com o quadrado das funções seno e cosseno. Então, substituindo:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui já que estamos fazendo uma integral definida.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de a :
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de .
Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. .
Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. .
(b)
onde é dada por: