Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(d) ;
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma região delimitada pelas curvas , , e . Nosso objetivo aqui é calcular o volume do sólido que resulta quando giramos essa região em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica em cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que a região se parece. Vamos traçar as curvas e no intervalo de a .
Para :
Para :
No intervalo , começa em 1 e diminui até , enquanto começa em 0 e aumenta até . A região fica entre essas duas curvas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Quando giramos a região em torno do eixo (que vamos assumir ser o eixo ), cada pequeno pedaço da região forma um disco com um certo raio.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, é a função de cima e é a função de baixo no intervalo de integração de a .
Passo 4
Identificando as funções:
(é a função que está em cima no intervalo considerado)
(é a função que está embaixo no mesmo intervalo)
Os limites de integração são e
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que:
Isso porque há uma identidade trigonométrica que relaciona o cosseno duplo com o quadrado das funções seno e cosseno. Então, substituindo:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a :
onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui já que estamos fazendo uma integral definida.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de a :
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.