Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(d)
;
(d)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma região
delimitada pelas curvas
,
,
e
. Nosso objetivo aqui é calcular o volume do sólido que resulta quando giramos essa região em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica em cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que a região
se parece. Vamos traçar as curvas
e
no intervalo de
a
.
-
Para
: -
-
Para
: -
No intervalo
,
começa em 1 e diminui até
, enquanto
começa em 0 e aumenta até
. A região
fica entre essas duas curvas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Quando giramos a região
em torno do eixo
(que vamos assumir ser o eixo
), cada pequeno pedaço da região forma um disco com um certo raio.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui,
é a função de cima e
é a função de baixo no intervalo de integração de
a
.
Passo 4
Identificando as funções:
-
(é a função que está em cima no intervalo considerado) -
(é a função que está embaixo no mesmo intervalo) - Os limites de integração são
e
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que:
Isso porque há uma identidade trigonométrica que relaciona o cosseno duplo com o quadrado das funções seno e cosseno. Então, substituindo:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui já que estamos fazendo uma integral definida.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.