Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
3a
Dado entre e a área da seção transversal de em , perpendicular ao eixo , é .
3b
Uma expressão integral para o volume de é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre gerar um sólido girando a região delimitada pela reta e pela curva em torno do eixo . O conteúdo que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente técnicas de volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das duas funções e utilizar o método dos discos ou das cascas cilíndricas para encontrar a área da seção transversal e, finalmente, o volume do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso ajuda a determinar os limites de integração. Igualando e :
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Portanto, a região a ser girada está entre e .

Passo 3

Agora, vamos determinar a área da seção transversal perpendicular ao eixo . Como estamos girando em torno do eixo , usaremos o método dos anéis (ou washers). A área de cada anel é dada pela diferença das áreas dos círculos externo e interno:
Aqui, é a função que está acima na região de a . Olhando as funções e , para entre 0 e 2, a reta está acima da parábola. Então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para :
Expandindo os quadrados:
Subtraindo:
Portanto:

Passo 5

Com a expressão de pronta, podemos agora escrever a expressão integral para o volume do sólido . O volume é a integral da área de a :
Podemos fatorar o fora da integral:

Resposta

A expressão integral para o volume de é:

Exercícios relacionados

(a)
onde é dada por:
(b)
onde é dada por:
Mostre que o volume de uma pirâmide reta com medida de altura e base quadrada com medida de lado é igual a .
Sendo
Calcule .