Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
3a
Dado
entre
e
a área da seção transversal de
em
, perpendicular ao eixo
, é
.
3b
Uma expressão integral para o volume de
é
.
3a
Dado
3b
Uma expressão integral para o volume de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre gerar um sólido
girando a região delimitada pela reta
e pela curva
em torno do eixo
. O conteúdo que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente técnicas de volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das duas funções e utilizar o método dos discos ou das cascas cilíndricas para encontrar a área da seção transversal e, finalmente, o volume do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso ajuda a determinar os limites de integração. Igualando
e
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Portanto, a região a ser girada está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a área da seção transversal
perpendicular ao eixo
. Como estamos girando em torno do eixo
, usaremos o método dos anéis (ou washers). A área de cada anel é dada pela diferença das áreas dos círculos externo e interno:
Aqui,
é a função que está acima na região de
a
. Olhando as funções
e
, para
entre 0 e 2, a reta está acima da parábola. Então:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para
:
Expandindo os quadrados:
Subtraindo:
Portanto:
Passo 5
Com a expressão de
pronta, podemos agora escrever a expressão integral para o volume
do sólido
. O volume é a integral da área
de
a
:
Podemos fatorar o
fora da integral:
Resposta
A expressão integral para o volume de
é: