Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo que vamos usar aqui é o método de integração por substituição. Esse método é útil quando a integral parece complicada, mas podemos simplificá-la fazendo uma troca de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o que está dentro da raiz de :
Assim, nossa integral fica em termos de , o que vai facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir . Diferenciando ambos os lados da equação:
Isso significa que:
Vamos substituir e por na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
Agora, a integral está em termos de , que é mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral . Lembre-se que é o mesmo que . A regra para integrar é:
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(d) ;
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de .
(b)
onde é dada por:
(a)
onde é dada por: