Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de integração por substituição. Esse método é útil quando a integral parece complicada, mas podemos simplificá-la fazendo uma troca de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o que está dentro da raiz de
:
Assim, nossa integral fica em termos de
, o que vai facilitar a resolução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Diferenciando ambos os lados da equação:
Isso significa que:
Vamos substituir
e
por
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Agora, a integral está em termos de
, que é mais simples de resolver.
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Lembre-se que
é o mesmo que
. A regra para integrar
é:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral indefinida é: