Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. integral raiz1-2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . O conteúdo que vamos usar aqui é o método de integração por substituição. Esse método é útil quando a integral parece complicada, mas podemos simplificá-la fazendo uma troca de variável. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o que está dentro da raiz de u = 1 - 2x :
Assim, nossa integral fica em termos de , o que vai facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -2 Rightarrow du = -2 , dx em relação a dx = -12 , du para substituir . Diferenciando ambos os lados da equação:
Isso significa que:
Vamos substituir e por na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral raiz1 - 2x , dx = integral raizu (-12) , du = -12 integral raizu , du
Agora, a integral está em termos de , que é mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . Lembre-se que -12 integral u^1/2 , du = -12 cdot u^3/23/2 + C = -12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C é o mesmo que . A regra para integrar é:
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original -13 u^3/2 + C = -13 (1 - 2x)^3/2 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral indefinida é:
integral raiz1 - 2x , dx = -13 (1 - 2x)^3/2 + C

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