(a)
| y' + 3y = f(x), y(0) = 0 |
onde f é dada por:
f(x) = { 1, 0 <= x <= 2; 0, x > 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Temos uma equação do primeiro grau que envolve uma função y(x) e uma função f(x) que muda de valor dependendo de x. Vamos usar métodos de equações diferenciais para encontrar a solução, especialmente o fator integrante.

Passo 2

A equação que vamos resolver é:
com a condição inicial . A função f(x) é definida por:
Isso significa que para x entre 0 e 2, f(x) é 1, e depois de 2, é 0.

Passo 3

Primeiro, vamos achar o fator integrante para resolver essa equação diferencial. Para uma equação do tipo , o fator integrante é dado por:
Aqui, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Isso nos dá:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos considerar as duas partes da função f(x):
Para 0 <= x <= 2:
, então:
Dividindo ambos os lados por :
Usando a condição inicial :
Portanto, para 0 <= x <= 2:
Para x > 2:
, então a equação fica homogênea:
Dividindo por :
Agora, precisamos achar C usando a continuidade em x = 2:
Então:
Portanto, para x > 2:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

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