(a)
onde é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Temos uma equação do primeiro grau que envolve uma função e uma função que muda de valor dependendo de . Vamos usar métodos de equações diferenciais para encontrar a solução, especialmente o fator integrante.

Passo 2

A equação que vamos resolver é:
com a condição inicial . A função é definida por:
Isso significa que para entre 0 e 2, é 1, e depois de 2, é 0.

Passo 3

Primeiro, vamos achar o fator integrante para resolver essa equação diferencial. Para uma equação do tipo , o fator integrante é dado por:
Aqui, , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos considerar as duas partes da função :
Para :
, então:
Dividindo ambos os lados por :
Usando a condição inicial :
Portanto, para :
Para :
, então a equação fica homogênea:
Dividindo por :
Agora, precisamos achar usando a continuidade em :
Então:
Portanto, para :

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:

Exercícios relacionados

(b)
onde é dada por:
Calcule as integrais indefinidas utilizando o método de integração por substituição. .
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
3a
Dado entre e a área da seção transversal de em , perpendicular ao eixo , é .
3b
Uma expressão integral para o volume de é .
Mostre que o volume de uma pirâmide reta com medida de altura e base quadrada com medida de lado é igual a .