Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Temos uma equação do primeiro grau que envolve uma função y(x) e uma função f(x) que muda de valor dependendo de x. Vamos usar métodos de equações diferenciais para encontrar a solução, especialmente o fator integrante.
Passo 2
A equação que vamos resolver é:
com a condição inicial . A função f(x) é definida por:
Isso significa que para x entre 0 e 2, f(x) é 1, e depois de 2, é 0.
Passo 3
Primeiro, vamos achar o fator integrante para resolver essa equação diferencial. Para uma equação do tipo , o fator integrante é dado por:
Aqui, , então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , ou seja:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Isso nos dá:
onde C é a constante de integração.
Passo 6
Vamos considerar as duas partes da função f(x):
Para 0 <= x <= 2: , então:
Dividindo ambos os lados por :
Usando a condição inicial :
Portanto, para 0 <= x <= 2:
Para x > 2: , então a equação fica homogênea:
Dividindo por :
Agora, precisamos achar C usando a continuidade em x = 2: