Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
© F: R^3 R^4 ; F(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,-y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A questão pede para encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação linear F(x, y, z) = (x - y - z, ; x + y + z, ; 2x - y + z, ; -y) definida por:
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo (kernel) e imagem (image) de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para o vetor nulo, e a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor do espaço de partida. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de x - y - z = 0 x + y + z = 0 2x - y + z = 0 -y = 0 . Isso significa resolver a equação , onde é o vetor nulo em .
Então, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.

Passo 3

Começamos pela última equação: y = 0 . Isso nos dá diretamente:
x = z = -x Rightarrow x = 0 e z = 0
Agora, substituímos x = 0, y = 0, z = 0 nas outras equações:
Mas já sabemos que e . Juntando essas duas igualdades:
Então, temos:
Isso significa que o único vetor no núcleo de é o vetor nulo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 . Para isso, podemos escrever a transformação linear como uma matriz e encontrar o espaço gerado por suas colunas.
A matriz associada a é:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar a independência linear das colunas.

Passo 5

Primeiro, pegamos as colunas de c1 = 1 1 2 0 , c2 = -1 1 -1 -1 , c3 = -1 1 1 0 :
c3 = a c1 + b c2
Queremos ver se alguma dessas colunas pode ser escrita como combinação linear das outras. Se não puderem, todas são independentes e formam uma base.
Vamos tentar expressar -1 = a(1) + b(-1) 1 = a(1) + b(1) 1 = a(2) + b(-1) 0 = a(0) + b(-1) como combinação de -1 = a(1) + 0 Rightarrow a = -1 e 1 = (-1)(1) + 0(1) = -1 (não é igual a 1) :
Isso nos dá o sistema:
Da última equação, . Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos a segunda equação:
ãé
Isso mostra que não pode ser escrita como combinação linear de e . Portanto, todas as três colunas são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para o núcleo de 1 1 2 0 , -1 1 -1 -1 , -1 1 1 0 é apenas o vetor nulo, já que .
Uma base para a imagem de é formada pelas três colunas da matriz associada a :

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