Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A questão pede para encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação linear definida por:
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo (kernel) e imagem (image) de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para o vetor nulo, e a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor do espaço de partida. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . Isso significa resolver a equação , onde é o vetor nulo em .
Então, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.
Passo 3
Começamos pela última equação: y = 0 . Isso nos dá diretamente:
x = z = -x Rightarrow x = 0 e z = 0
Agora, substituímos x = 0, y = 0, z = 0 nas outras equações:
Mas já sabemos que e . Juntando essas duas igualdades:
Então, temos:
Isso significa que o único vetor no núcleo de é o vetor nulo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 . Para isso, podemos escrever a transformação linear como uma matriz e encontrar o espaço gerado por suas colunas.
A matriz associada a é:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar a independência linear das colunas.