Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base para o núcleo e uma para imagem.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A questão pede para encontrar uma base para o núcleo e outra para a imagem da transformação linear definida por:
Para isso, vamos precisar entender os conceitos de núcleo (kernel) e imagem (image) de uma transformação linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores que a transformação manda para o vetor nulo, e a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor do espaço de partida. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . Isso significa resolver a equação , onde é o vetor nulo em .
Então, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo.

Passo 3

Começamos pela última equação: . Isso nos dá diretamente:
Agora, substituímos nas outras equações:
Mas já sabemos que e . Juntando essas duas igualdades:
Então, temos:
Isso significa que o único vetor no núcleo de é o vetor nulo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de . Para isso, podemos escrever a transformação linear como uma matriz e encontrar o espaço gerado por suas colunas.
A matriz associada a é:
A imagem de é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz. Vamos verificar a independência linear das colunas.

Passo 5

Primeiro, pegamos as colunas de :
Queremos ver se alguma dessas colunas pode ser escrita como combinação linear das outras. Se não puderem, todas são independentes e formam uma base.
Vamos tentar expressar como combinação de e :
Isso nos dá o sistema:
Da última equação, . Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos a segunda equação:
ãé
Isso mostra que não pode ser escrita como combinação linear de e . Portanto, todas as três colunas são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para o núcleo de é apenas o vetor nulo, já que .
Uma base para a imagem de é formada pelas três colunas da matriz associada a :

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