(b) Se A é uma matriz retangular, tal que A A^t é invertível, verifique que a matriz C=A^t(A A^t)^-1 é uma inversa à direita de A.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz retangular tal que o produto é invertível. Precisamos verificar que a matriz é uma inversa à direita de .
Aqui, estamos lidando com álgebra de matrizes, especificamente com inversas de matrizes. Precisamos lembrar que uma inversa à direita de uma matriz é uma matriz tal que é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser invertível. A matriz é o produto de pela sua transposta . Uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade.
Como é invertível, sabemos que existe , que é a matriz inversa de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz A C = A ( A^t( A A^t )^-1 ) . Nosso objetivo é mostrar que é uma inversa à direita de , ou seja, que é a matriz identidade.
Vamos calcular :

Passo 4

Vamos reorganizar a expressão usando as propriedades de associatividade da multiplicação de matrizes:
A C = ( A A^t ) ( A A^t )^-1
Aqui, agrupamos e juntos e multiplicamos pela inversa de .

Passo 5

Sabemos que uma matriz multiplicada pela sua inversa resulta na matriz identidade. Portanto:
( A A^t ) ( A A^t )^-1 = I
Onde é a matriz identidade de ordem apropriada.

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, é de fato uma inversa à direita de .

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