(b) Se
é uma matriz retangular, tal que
é invertível, verifique que a matriz
é uma inversa à direita de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz retangular
tal que o produto
é invertível. Precisamos verificar que a matriz
é uma inversa à direita de
.
Aqui, estamos lidando com álgebra de matrizes, especificamente com inversas de matrizes. Precisamos lembrar que uma inversa à direita de uma matriz
é uma matriz
tal que
é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser invertível. A matriz
é o produto de
pela sua transposta
. Uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade.
Como
é invertível, sabemos que existe
, que é a matriz inversa de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a matriz
. Nosso objetivo é mostrar que
é uma inversa à direita de
, ou seja, que
é a matriz identidade.
Vamos calcular
:
Passo 4
Vamos reorganizar a expressão usando as propriedades de associatividade da multiplicação de matrizes:
Aqui, agrupamos
e
juntos e multiplicamos pela inversa de
.
Passo 5
Sabemos que uma matriz multiplicada pela sua inversa resulta na matriz identidade. Portanto:
Onde
é a matriz identidade de ordem apropriada.
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja,
é de fato uma inversa à direita de
.
Exercícios relacionados
Sejam $U e V sub-espaços do espaço $W tais que
. Todo vetor
se escre e, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U$ e $v in V). Sendo
e
as projeções dadas por
e
, mostrar que:
.
Justifique porque, para qualquer matriz quadrada
, as matrizes
e
são simétricas.
Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
b) Como a adição de
é a operação usual de
, certos axiomas de espaço vetorial valem para
por valerem em
. Quais são esses axiomas?
Verifique que
(conjunto unitário) com operações
é um espaço vetorial.