Justifique porque, para qualquer matriz quadrada , as matrizes e são simétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para justificar que, para qualquer matriz quadrada , as matrizes , e são simétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como funciona a transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é chamada de simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira matriz . Para mostrar que é simétrica, precisamos provar que .
Passo 4
Usando a propriedade da transposição de produtos de matrizes, sabemos que . Aplicando isso a , temos:
Isso mostra que é igual à sua transposta, portanto, é simétrica.
Passo 5
Vamos agora para a segunda matriz . Da mesma forma, queremos provar que .
Passo 6
Aplicando a mesma propriedade de transposição:
Isso confirma que também é simétrica.
Passo 7
Finalmente, vamos considerar a matriz . Para mostrar que ela é simétrica, precisamos verificar que .
Passo 8
Utilizando a propriedade da transposição de soma:
Rearranjando os termos, temos:
Isso confirma que é igual à sua transposta, logo, é simétrica.
Resposta
Portanto, para qualquer matriz quadrada , as matrizes , e são simétricas.