Justifique porque, para qualquer matriz quadrada
, as matrizes
e
são simétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para justificar que, para qualquer matriz quadrada
, as matrizes
,
e
são simétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como funciona a transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz
é chamada de simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira matriz
. Para mostrar que
é simétrica, precisamos provar que
.
Passo 4
Usando a propriedade da transposição de produtos de matrizes, sabemos que
. Aplicando isso a
, temos:
Isso mostra que
é igual à sua transposta, portanto, é simétrica.
Passo 5
Vamos agora para a segunda matriz
. Da mesma forma, queremos provar que
.
Passo 6
Aplicando a mesma propriedade de transposição:
Isso confirma que
também é simétrica.
Passo 7
Finalmente, vamos considerar a matriz
. Para mostrar que ela é simétrica, precisamos verificar que
.
Passo 8
Utilizando a propriedade da transposição de soma:
Rearranjando os termos, temos:
Isso confirma que
é igual à sua transposta, logo, é simétrica.
Resposta
Portanto, para qualquer matriz quadrada
, as matrizes
,
e
são simétricas.