Justifique porque, para qualquer matriz quadrada A, as matrizes A A^T, A^T A e A^T+A são simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para justificar que, para qualquer matriz quadrada , as matrizes , e são simétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como funciona a transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é chamada de simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira matriz . Para mostrar que é simétrica, precisamos provar que .

Passo 4

Usando a propriedade da transposição de produtos de matrizes, sabemos que (AA^T)^T = (A^T)^TA^T = AA^T . Aplicando isso a , temos:
Isso mostra que é igual à sua transposta, portanto, é simétrica.

Passo 5

Vamos agora para a segunda matriz . Da mesma forma, queremos provar que .

Passo 6

Aplicando a mesma propriedade de transposição:
(A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA
Isso confirma que também é simétrica.

Passo 7

Finalmente, vamos considerar a matriz . Para mostrar que ela é simétrica, precisamos verificar que .

Passo 8

Utilizando a propriedade da transposição de soma:
(A^T + A)^T = (A^T)^T + A^T = A + A^T
Rearranjando os termos, temos:
A + A^T = A^T + A
Isso confirma que é igual à sua transposta, logo, é simétrica.

Resposta

Portanto, para qualquer matriz quadrada , as matrizes , e são simétricas.

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