Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(x1, y1) e v=(x2, y2) por
u+v & =(x1+x2, y1+y2) lambda u & =(0, lambda y1)
b) Como a adição de V é a operação usual de R^2, certos axiomas de espaço vetorial valem para V por valerem em R^2. Quais são esses axiomas?

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a parte b) do exercício. A questão fala sobre operações em um espaço vetorial, especificamente em V, que é igual ao conjunto usual de R^2 para adição. O que precisamos fazer aqui é listar quais axiomas de espaço vetorial são válidos para V porque eles já são válidos em R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são axiomas de espaço vetorial. São regras que definem como a adição e a multiplicação por escalar devem funcionar para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Como a adição em V é a usual de R^2, os axiomas que já valem em R^2 também valem em V.

Passo 3

Vamos listar os axiomas que estão garantidos:
  1. Comutatividade da Adição: Para quaisquer vetores u, v in V, u + v = v + u.
    Isso significa que a ordem dos vetores na soma não altera o resultado.
  2. Associatividade da Adição: Para quaisquer vetores u, v, w in V, (u + v) + w = u + (v + w).
    Essa propriedade garante que, ao somar três vetores, a forma como você agrupa eles não altera o resultado.
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero 0 in V tal que, para todo vetor u in V, u + 0 = u.
    O vetor zero é aquele que, quando somado a qualquer vetor, não muda o vetor.
  4. Elemento Inverso da Adição: Para todo vetor u in V, existe um vetor -u in V tal que u + (-u) = 0.
    Isso significa que para cada vetor, existe outro vetor que, quando somados, resultam no vetor zero.
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares: Para quaisquer escalares alpha, beta e qualquer vetor u in V, alpha(beta u) = (alpha beta) u.
    Aqui, a ordem em que você aplica as multiplicações por escalares não importa.
  6. Distribuição da Multiplicação por Escalar com relação à Adição de Vetores: Para qualquer escalar alpha e quaisquer vetores u, v in V, alpha (u + v) = alpha u + alpha v.
    Isso mostra que multiplicar uma soma de vetores por um escalar é o mesmo que multiplicar cada vetor individualmente e depois somar.
  7. Distribuição da Multiplicação por Escalar com relação à Adição de Escalares: Para quaisquer escalares alpha, beta e qualquer vetor u in V, (alpha + beta) u = alpha u + beta u.
    Aqui, multiplicar a soma de escalares por um vetor é igual a somar as multiplicações individuais.
  8. Identidade da Multiplicação por Escalar: Existe um escalar 1 tal que, para todo vetor u in V, 1 cdot u = u.
    Multiplicar um vetor por 1 não muda o vetor.

Resposta

Os axiomas de espaço vetorial que valem para V são:
  1. Comutatividade da Adição
  2. Associatividade da Adição
  3. Elemento Neutro da Adição
  4. Elemento Inverso da Adição
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares
  6. Distribuição da Multiplicação por Escalar com relação à Adição de Vetores
  7. Distribuição da Multiplicação por Escalar com relação à Adição de Escalares
  8. Identidade da Multiplicação por Escalar

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