Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
b) Como a adição de
é a operação usual de
, certos axiomas de espaço vetorial valem para
por valerem em
. Quais são esses axiomas?
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a parte b) do exercício. A questão fala sobre operações em um espaço vetorial, especificamente em
, que é igual ao conjunto usual de
para adição. O que precisamos fazer aqui é listar quais axiomas de espaço vetorial são válidos para
porque eles já são válidos em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são axiomas de espaço vetorial. São regras que definem como a adição e a multiplicação por escalar devem funcionar para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Como a adição em
é a usual de
, os axiomas que já valem em
também valem em
.
Passo 3
Vamos listar os axiomas que estão garantidos:
-
Comutatividade da Adição: Para quaisquer vetores
, . Isso significa que a ordem dos vetores na soma não altera o resultado. -
Associatividade da Adição: Para quaisquer vetores
, . Essa propriedade garante que, ao somar três vetores, a forma como você agrupa eles não altera o resultado. -
Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero
tal que, para todo vetor , . O vetor zero é aquele que, quando somado a qualquer vetor, não muda o vetor. -
Elemento Inverso da Adição: Para todo vetor
, existe um vetor tal que . Isso significa que para cada vetor, existe outro vetor que, quando somados, resultam no vetor zero. -
Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares: Para quaisquer escalares
e qualquer vetor , . Aqui, a ordem em que você aplica as multiplicações por escalares não importa. -
Distribuição da Multiplicação por Escalar com relação à Adição de Vetores: Para qualquer escalar
e quaisquer vetores , . Isso mostra que multiplicar uma soma de vetores por um escalar é o mesmo que multiplicar cada vetor individualmente e depois somar. -
Distribuição da Multiplicação por Escalar com relação à Adição de Escalares: Para quaisquer escalares
e qualquer vetor , . Aqui, multiplicar a soma de escalares por um vetor é igual a somar as multiplicações individuais. -
Identidade da Multiplicação por Escalar: Existe um escalar 1 tal que, para todo vetor
, . Multiplicar um vetor por 1 não muda o vetor.
Resposta
Os axiomas de espaço vetorial que valem para
são:
- Comutatividade da Adição
- Associatividade da Adição
- Elemento Neutro da Adição
- Elemento Inverso da Adição
- Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares
- Distribuição da Multiplicação por Escalar com relação à Adição de Vetores
- Distribuição da Multiplicação por Escalar com relação à Adição de Escalares
- Identidade da Multiplicação por Escalar
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(b) Se
é uma matriz retangular, tal que
é invertível, verifique que a matriz
é uma inversa à direita de
.
Sejam $U e V sub-espaços do espaço $W tais que
. Todo vetor
se escre e, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U$ e $v in V). Sendo
e
as projeções dadas por
e
, mostrar que:
.
Verifique que
(conjunto unitário) com operações
é um espaço vetorial.
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.