Verifique que V=a (conjunto unitário) com operações
u+v & =a & & u, v in V lambda u & =a & & u in V e lambda in R
é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se o conjunto , que tem apenas um elemento, junto com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Estamos lidando com Álgebra Linear, mais especificamente com a teoria de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos conferir se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas nesse conjunto com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as operações definidas:
  • Adição: Para quaisquer em , .
  • Multiplicação por escalar: Para qualquer em e qualquer escalar em , .
Isso significa que, independentemente dos elementos escolhidos e dos escalares, a operação sempre resulta em .

Passo 3

Agora, vamos lembrar quais são as propriedades que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial:
  1. Fechamento na adição: A soma de quaisquer dois vetores está no conjunto.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: O produto de um escalar com um vetor está no conjunto.
  3. Associatividade da adição: .
  4. Comutatividade da adição: .
  5. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que .
  6. Elemento inverso da adição: Para cada , existe um tal que .
  7. Compatibilidade da multiplicação por escalar: .
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
  9. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
  10. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.

Passo 4

  1. Fechamento na adição: Como , qualquer soma resulta em , que está em . Então, fechado.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Qualquer múltiplo resulta em , que está em . Também é fechado.

Passo 5

  1. Associatividade da adição:
(u + v) + w = a + w = a u + (v + w) = u + a = a
Ambos os lados são iguais a u + v = a v + u = a , então associativo.
  1. Comutatividade da adição:
Ambos são iguais, então comutativo.

Passo 6

  1. Elemento neutro da adição: Procuramos um vetor tal que .
    No nosso caso, , mas para ser igual a , precisamos que . Como só temos no conjunto, podemos considerar como o elemento neutro.
  2. Elemento inverso da adição: Queremos um tal que .
    Aqui, , que estamos considerando como o elemento neutro. Então, .

Passo 7

  1. Compatibilidade da multiplicação por escalar:
lambda (mu u) = lambda a = a (lambda mu) u = a
Ambos os lados resultam em 1u = a , então compatível.
  1. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Mas para ser igual a , precisamos que . Novamente, como só temos no conjunto, isso funciona.

Passo 8

  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
lambda (u + v) = lambda a = a lambda u + lambda v = a + a = a
Ambos os lados são iguais a (lambda + mu) u = a lambda u + mu u = a + a = a , então válido.
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Ambos os lados resultam em , então válido.

Resposta

Todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas pelo conjunto com as operações definidas. Portanto, é um espaço vetorial.

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