Verifique que
(conjunto unitário) com operações
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se o conjunto
, que tem apenas um elemento, junto com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Estamos lidando com Álgebra Linear, mais especificamente com a teoria de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos conferir se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas nesse conjunto com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as operações definidas:
- Adição: Para quaisquer
em , . - Multiplicação por escalar: Para qualquer
em e qualquer escalar em , .
Isso significa que, independentemente dos elementos escolhidos e dos escalares, a operação sempre resulta em
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são as propriedades que um conjunto com essas operações precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial:
- Fechamento na adição: A soma de quaisquer dois vetores está no conjunto.
- Fechamento na multiplicação por escalar: O produto de um escalar com um vetor está no conjunto.
- Associatividade da adição:
. - Comutatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
. - Elemento inverso da adição: Para cada
, existe um tal que . - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 4
-
Fechamento na adição: Como
, qualquer soma resulta em , que está em . Então, fechado. -
Fechamento na multiplicação por escalar: Qualquer múltiplo
resulta em , que está em . Também é fechado.
Passo 5
- Associatividade da adição:
Ambos os lados são iguais a
, então associativo.
- Comutatividade da adição:
Ambos são iguais, então comutativo.
Passo 6
-
Elemento neutro da adição: Procuramos um vetor
tal que .
No nosso caso,, mas para ser igual a , precisamos que . Como só temos no conjunto, podemos considerar como o elemento neutro. -
Elemento inverso da adição: Queremos um
tal que .
Aqui,, que estamos considerando como o elemento neutro. Então, .
Passo 7
- Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Ambos os lados resultam em
, então compatível.
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Mas para ser igual a
, precisamos que
. Novamente, como só temos
no conjunto, isso funciona.
Passo 8
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Ambos os lados são iguais a
, então válido.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Ambos os lados resultam em
, então válido.
Resposta
Todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas pelo conjunto
com as operações definidas. Portanto,
é um espaço vetorial.