Sejam $U e V sub-espaços do espaço $W tais que
. Todo vetor
se escre e, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U$ e $v in V). Sendo
e
as projeções dadas por
e
, mostrar que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre subespaços vetoriais
e
de um espaço
tal que
. Isso significa que qualquer vetor
em
pode ser escrito de forma única como
, onde
está em
e
está em
. A gente tem duas projeções
e
que pegam um vetor
e retornam
e
respectivamente. A tarefa é mostrar que
. Vamos precisar entender o que são projeções e como elas funcionam nesses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. Uma projeção
em um espaço vetorial é uma função que pega qualquer vetor e “projeta” ele em um subespaço específico. Ou seja,
dá a parte de
que está naquele subespaço. No nosso caso,
projeta
no subespaço
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa
. Isso quer dizer aplicar a projeção
duas vezes:
. Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, aplicamos
em
:
Agora, aplicamos
novamente no resultado
:
Porque
já está no subespaço
, a projeção dele sobre
é ele mesmo.
Passo 5
Então, juntando tudo:
Isso mostra que ao aplicar
duas vezes, a gente chega no mesmo resultado que aplicando uma vez.
Resposta
Portanto, mostramos que
.