Sejam $U e V sub-espaços do espaço $W tais que U e V sub-espaços do espaço . Todo vetor W=U oplus V se escre e, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U$ e $v in V). Sendo w in W e e as projeções dadas por P1 e P2, mostrar que:
P1 (w)=u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre subespaços vetoriais e de um espaço tal que . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito de forma única como , onde está em e está em . A gente tem duas projeções e que pegam um vetor e retornam e respectivamente. A tarefa é mostrar que . Vamos precisar entender o que são projeções e como elas funcionam nesses espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. Uma projeção em um espaço vetorial é uma função que pega qualquer vetor e “projeta” ele em um subespaço específico. Ou seja, dá a parte de que está naquele subespaço. No nosso caso, projeta no subespaço .

Passo 3

Agora, precisamos entender o que significa . Isso quer dizer aplicar a projeção duas vezes: . Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, aplicamos P1(w) = u em P1(u) = u :
Agora, aplicamos novamente no resultado :
Porque já está no subespaço , a projeção dele sobre é ele mesmo.

Passo 5

Então, juntando tudo:
P1^2(w) = P1(P1(w)) = P1(u) = u = P1(w)
Isso mostra que ao aplicar duas vezes, a gente chega no mesmo resultado que aplicando uma vez.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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