Sejam $U e V sub-espaços do espaço $W tais que . Todo vetor se escre e, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U$ e $v in V). Sendo e as projeções dadas por e , mostrar que: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre subespaços vetoriais e de um espaço tal que . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito de forma única como , onde está em e está em . A gente tem duas projeções e que pegam um vetor e retornam e respectivamente. A tarefa é mostrar que . Vamos precisar entender o que são projeções e como elas funcionam nesses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção. Uma projeção em um espaço vetorial é uma função que pega qualquer vetor e “projeta” ele em um subespaço específico. Ou seja, dá a parte de que está naquele subespaço. No nosso caso, projeta no subespaço .
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa . Isso quer dizer aplicar a projeção duas vezes: . Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, aplicamos em :
Agora, aplicamos novamente no resultado :
Porque já está no subespaço , a projeção dele sobre é ele mesmo.
Passo 5
Então, juntando tudo:
Isso mostra que ao aplicar duas vezes, a gente chega no mesmo resultado que aplicando uma vez.