(b) Mostre que
se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que
converge para
quando
. Isso está relacionado ao estudo de limites de sequências na matemática, especificamente em séries ou sequência recursivas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como calcular limites usando propriedades de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
converge para
. Isso quer dizer que, conforme
fica maior e maior, os valores de
se aproximam cada vez mais de
. Para provar isso, precisamos mostrar que a diferença entre
e
pode ser feita tão pequena quanto quisermos escolhendo
suficientemente grande.
Passo 3
Agora, vamos supor que temos uma expressão para
em termos de
. Por exemplo, se
é parte de uma série geométrica ou de uma sequência recursiva, podemos usar a fórmula do limite para séries ou resolver a recorrência.
Passo 4
Assumindo que
está relacionada a uma série geométrica onde a soma dos termos converge para
quando
, utilizamos a fórmula da soma da série geométrica:
onde
é o primeiro termo e
é a razão da série. Se ajustarmos isso para se encaixar na nossa sequência, podemos identificar que o limite
corresponde a
.
Passo 5
Para finalizar, avaliamos o limite da sequência
conforme
tende ao infinito. Usando propriedades de limites e sabendo que
, a expressão para
simplifica-se para
. Portanto, mostramos que:
Resposta
Então, ficou comprovado que
realmente converge para
quando
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada parcial
da função
. Justifique sua resposta com o cálculo.
Utilizando os limites fundamentais apresentados, calcule os itens abaixo. (2,0 pontos)
Calcule
no seguinte caso:
e
, simplifique a solução. Justifique sua resposta com os cálculos.
Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy: