(b) Mostre que se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que converge para quando . Isso está relacionado ao estudo de limites de sequências na matemática, especificamente em séries ou sequência recursivas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência convergir e como calcular limites usando propriedades de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que converge para . Isso quer dizer que, conforme fica maior e maior, os valores de se aproximam cada vez mais de . Para provar isso, precisamos mostrar que a diferença entre e pode ser feita tão pequena quanto quisermos escolhendo suficientemente grande.

Passo 3

Agora, vamos supor que temos uma expressão para em termos de . Por exemplo, se é parte de uma série geométrica ou de uma sequência recursiva, podemos usar a fórmula do limite para séries ou resolver a recorrência.

Passo 4

Assumindo que está relacionada a uma série geométrica onde a soma dos termos converge para quando , utilizamos a fórmula da soma da série geométrica:
onde é o primeiro termo e é a razão da série. Se ajustarmos isso para se encaixar na nossa sequência, podemos identificar que o limite corresponde a .

Passo 5

Para finalizar, avaliamos o limite da sequência conforme tende ao infinito. Usando propriedades de limites e sabendo que , a expressão para simplifica-se para . Portanto, mostramos que:

Resposta

Então, ficou comprovado que realmente converge para quando .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada parcial da função . Justifique sua resposta com o cálculo.
Utilizando os limites fundamentais apresentados, calcule os itens abaixo. (2,0 pontos)
Calcule no seguinte caso: e , simplifique a solução. Justifique sua resposta com os cálculos.
Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy: