Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir quais valores de
e
fazem a função
funcionar direitinho. Isso envolve entender o domínio da função, ou seja, quais combinações de
e
deixam a função bem definida. Para isso, vamos precisar lembrar que o logaritmo natural
só aceita números positivos como entrada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte do logaritmo:
. Para o logaritmo existir, o que está dentro dele precisa ser maior que zero. Então, a gente tem a condição:
Passo 3
Vamos resolver essa desigualdade para entender quais valores de
e
satisfazem essa condição. Isso significa que:
Ou seja,
tem que ser menor que
ao quadrado.
Passo 4
Agora, vamos visualizar isso no plano
. A equação
representa uma parábola que abre para a direita. A condição
significa que estamos considerando todos os pontos que estão à esquerda dessa parábola.
Passo 5
Além disso, não há outras restrições na função
além do logaritmo. A parte
e
são polinomiais e não impõem restrições adicionais. Então, o único requisito para o domínio é que
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
. Graficamente, isso corresponde a todas as regiões à esquerda da parábola
no plano
.
Exercícios relacionados
Calcule
no seguinte caso:
e
, simplifique a solução. Justifique sua resposta com os cálculos.
(b) Mostre que
se
.
Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a
da função
, em que
e
. Justifique sua resposta com os cálculos.
Encontre
e o
.
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