Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa descobrir quais valores de e fazem a função funcionar direitinho. Isso envolve entender o domínio da função, ou seja, quais combinações de e deixam a função bem definida. Para isso, vamos precisar lembrar que o logaritmo natural só aceita números positivos como entrada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte do logaritmo: . Para o logaritmo existir, o que está dentro dele precisa ser maior que zero. Então, a gente tem a condição:

Passo 3

Vamos resolver essa desigualdade para entender quais valores de e satisfazem essa condição. Isso significa que:
Ou seja, tem que ser menor que ao quadrado.

Passo 4

Agora, vamos visualizar isso no plano . A equação representa uma parábola que abre para a direita. A condição significa que estamos considerando todos os pontos que estão à esquerda dessa parábola.

Passo 5

Além disso, não há outras restrições na função além do logaritmo. A parte e são polinomiais e não impõem restrições adicionais. Então, o único requisito para o domínio é que .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde . Graficamente, isso corresponde a todas as regiões à esquerda da parábola no plano .

Exercícios relacionados

Calcule no seguinte caso: e , simplifique a solução. Justifique sua resposta com os cálculos.
(b) Mostre que se .
Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a da função , em que e . Justifique sua resposta com os cálculos.
Encontre e o .
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