Calcule no seguinte caso: e , simplifique a solução. Justifique sua resposta com os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A função está definida como , onde e são funções de e :
Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas, já que depende de e , que por sua vez dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que dependem de :
Agora, queremos encontrar . Usamos a regra da cadeia para funções compostas. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Calcular :
    Como , a derivada parcial de em relação a é:
  2. Calcular :
    Dado que :
    (Aqui, a derivada de em relação a é zero porque é tratado como uma constante em relação a .)
  3. Calcular :
    Novamente, , então:
  4. Calcular :
    Dado que :

Passo 4

Agora, substituímos todas as derivadas que calculamos na regra da cadeia:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Por fim, podemos deixar a expressão mais organizada, destacando o denominador comum:

Resposta

A derivada de em relação a é:
Onde e .

Exercícios relacionados

(b) Mostre que se .
Calcule a derivada parcial da função . Justifique sua resposta com o cálculo.
Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy:
Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a da função , em que e . Justifique sua resposta com os cálculos.