Calcule
no seguinte caso:
e
, simplifique a solução. Justifique sua resposta com os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função
está definida como
, onde
e
são funções de
e
:
Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas, já que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que dependem de
:
Agora, queremos encontrar
. Usamos a regra da cadeia para funções compostas. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
-
Calcular
: Como, a derivada parcial de em relação a é: -
Calcular
: Dado que: (Aqui, a derivada deem relação a é zero porque é tratado como uma constante em relação a .) -
Calcular
: Novamente,, então: -
Calcular
: Dado que:
Passo 4
Agora, substituímos todas as derivadas que calculamos na regra da cadeia:
Vamos simplificar cada termo:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Por fim, podemos deixar a expressão mais organizada, destacando o denominador comum:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Onde
e
.
Exercícios relacionados
(b) Mostre que
se
.
Calcule a derivada parcial
da função
. Justifique sua resposta com o cálculo.
Determine os domínios das funções abaixo e represente-os no plano xy:
Usando a regra da cadeia, calcule a derivada parcial de primeira ordem com relação a
da função
, em que
e
. Justifique sua resposta com os cálculos.