(b) Mostre que o conjunto
é linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto
é linearmente independente. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores (ou funções, no caso). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como verificar se a única solução para uma combinação linear igual a zero é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de funções
é linearmente independente se a única maneira de combinar essas funções com coeficientes
para obter a função zero é quando todos esses coeficientes são zero. Ou seja, se
para todo
, então necessariamente
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Queremos resolver a equação:
Para todo
, isso deve ser igual a zero. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem essa equação.
Passo 4
Dependendo das definições específicas de
,
e
, podemos montar um sistema de equações. Por exemplo, se as funções forem polinômios, podemos igualar os coeficientes de cada potência de
a zero. Isso nos dará um sistema linear que podemos resolver para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Após montar o sistema de equações, resolvemos para encontrar os valores de
e
. Se a única solução for
, então o conjunto de funções é linearmente independente. Caso contrário, se existir uma solução não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero), o conjunto é linearmente dependente.
Resposta
Portanto, seguindo esses passos e resolvendo o sistema de equações correspondente, podemos concluir que o conjunto
é linearmente independente se a única solução for
.
Exercícios relacionados
(a) Expresse o polinômio
como combinação linear de
e
.
Considere os polinômios e
.
Considere os polinômios
(b) Mostre que a matriz encontrada no item (a) é a matriz inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear dado.
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em
, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
b)
b)
Encontre condições para
, para que det
, onde
e I é a matriz identidade.