(b) Mostre que o conjunto p1(x), p2(x), p3(x) é linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é linearmente independente. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores (ou funções, no caso). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como verificar se a única solução para uma combinação linear igual a zero é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de funções é linearmente independente se a única maneira de combinar essas funções com coeficientes para obter a função zero é quando todos esses coeficientes são zero. Ou seja, se para todo , então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto c1 p1(x) + c2 p2(x) + c3 p3(x) = 0 . Queremos resolver a equação:
Para todo , isso deve ser igual a zero. Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação.

Passo 4

Dependendo das definições específicas de , e , podemos montar um sistema de equações. Por exemplo, se as funções forem polinômios, podemos igualar os coeficientes de cada potência de a zero. Isso nos dará um sistema linear que podemos resolver para encontrar os valores de e .

Passo 5

Após montar o sistema de equações, resolvemos para encontrar os valores de e . Se a única solução for , então o conjunto de funções é linearmente independente. Caso contrário, se existir uma solução não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero), o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

Portanto, seguindo esses passos e resolvendo o sistema de equações correspondente, podemos concluir que o conjunto é linearmente independente se a única solução for .

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