(a) Expresse o polinômio a+b x+c x^2 como combinação linear de p1(x), p2(x) e p3(x).
Considere os polinômios p1(x)=x+x^2, p2(x)=1-x^2 e p3(x)=1+x-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever o polinômio a + b x + c x^2 = alpha p1(x) + beta p2(x) + gamma p3(x) como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso significa que queremos encontrar coeficientes , e tal que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como igualar os coeficientes dos termos semelhantes nos dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os polinômios a + b x + c x^2 = alpha (x + x^2) + beta (1 - x^2) + gamma (1 + x - x^2) , e na equação:
Aqui, estamos dizendo que o polinômio à esquerda deve ser igual à soma das combinações dos polinômios , e multiplicados pelos coeficientes desconhecidos , e .

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes a + b x + c x^2 = alpha x + alpha x^2 + beta cdot 1 - beta x^2 + gamma cdot 1 + gamma x - gamma x^2 , a + b x + c x^2 = (alpha + gamma) x + (alpha x^2 - beta x^2 - gamma x^2) + (beta + gamma) e dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos agrupar os termos semelhantes para deixar a equação mais clara:
a + b x + c x^2 = (beta + gamma) + (alpha + gamma) x + (alpha - beta - gamma) x^2
Agora, temos os polinômios no mesmo formato em ambos os lados da equação, o que nos permite comparar os coeficientes dos termos de mesmo grau.

Passo 5

Para que os dois polinômios sejam iguais para todo beta + gamma = a alpha + gamma = b alpha - beta - gamma = c , os coeficientes dos termos , e devem ser iguais nos dois lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar , e em termos de , e .

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação: (b - gamma) - beta - gamma = c b - beta - 2gamma = c beta + 2gamma = b - c
  2. Substituímos (a - gamma) + 2gamma = b - c a + gamma = b - c gamma = (b - c) - a na terceira equação: beta = a - gamma = a - [(b - c) - a] = a - b + c + a = 2a - b + c
  3. Da primeira equação: alpha = b - gamma = b - [(b - c) - a] = b - b + c + a = a + c
  4. Substituímos na última equação:
  5. Agora que temos , encontramos :
  6. E finalmente, encontramos :

Resposta

A combinação linear que expressa a + b x + c x^2 = (a + c) cdot p1(x) + (2a - b + c) cdot p2(x) + (b - c - a) cdot p3(x) em termos de , e é:

Exercícios relacionados

(b) Mostre que a matriz encontrada no item (a) é a matriz inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear dado.
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Determinar todos os subgrupos de Z2 times Z3
(b) Mostre que o conjunto p1(x), p2(x), p3(x) é linearmente independentes.
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em S5, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
b) (1,3,2)