(a) Expresse o polinômio como combinação linear de e .
Considere os polinômios e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever o polinômio como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso significa que queremos encontrar coeficientes , e tal que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como igualar os coeficientes dos termos semelhantes nos dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os polinômios , e na equação:
Aqui, estamos dizendo que o polinômio à esquerda deve ser igual à soma das combinações dos polinômios , e multiplicados pelos coeficientes desconhecidos , e .
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes para deixar a equação mais clara:
Agora, temos os polinômios no mesmo formato em ambos os lados da equação, o que nos permite comparar os coeficientes dos termos de mesmo grau.
Passo 5
Para que os dois polinômios sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos , e devem ser iguais nos dois lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar , e em termos de , e .
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da segunda equação: (b - gamma) - beta - gamma = c b - beta - 2gamma = c beta + 2gamma = b - c
Substituímos (a - gamma) + 2gamma = b - c a + gamma = b - c gamma = (b - c) - a na terceira equação: beta = a - gamma = a - [(b - c) - a] = a - b + c + a = 2a - b + c
Da primeira equação: alpha = b - gamma = b - [(b - c) - a] = b - b + c + a = a + c
Substituímos na última equação:
Agora que temos , encontramos :
E finalmente, encontramos :
Resposta
A combinação linear que expressa a + b x + c x^2 = (a + c) cdot p1(x) + (2a - b + c) cdot p2(x) + (b - c - a) cdot p3(x) em termos de , e é: