(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em , encontrar as ordens dos seguintes elementos:
b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o grupo simétrico , que é o conjunto de todas as permutações possíveis de 5 elementos. A tarefa é encontrar a ordem do elemento dentro desse grupo. Para isso, precisamos saber o que é a ordem de uma permutação e como calculá-la.
Passo 2
A ordem de uma permutação é o menor número inteiro positivo que, quando aplicamos a permutação esse número de vezes, retornamos à permutação identidade (ou seja, nenhuma mudança). No caso de permutações escritas em ciclos, a ordem de uma permutação é o menor número comum múltiplo (MDC) dos comprimentos de seus ciclos.
Passo 3
Vamos analisar a permutação . Esse ciclo significa que:
1 vai para 3,
3 vai para 2,
2 volta para 1,
4 e 5 permanecem fixos (já que não estão no ciclo).
O ciclo tem comprimento 3, pois envolve 3 elementos. Como não há outros ciclos além dos fixos, a ordem da permutação será o comprimento desse ciclo.