(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em S5, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
b) (1,3,2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o grupo simétrico S5, que é o conjunto de todas as permutações possíveis de 5 elementos. A tarefa é encontrar a ordem do elemento (1,3,2) dentro desse grupo. Para isso, precisamos saber o que é a ordem de uma permutação e como calculá-la.

Passo 2

A ordem de uma permutação é o menor número inteiro positivo que, quando aplicamos a permutação esse número de vezes, retornamos à permutação identidade (ou seja, nenhuma mudança). No caso de permutações escritas em ciclos, a ordem de uma permutação é o menor número comum múltiplo (MDC) dos comprimentos de seus ciclos.

Passo 3

Vamos analisar a permutação (1,3,2). Esse ciclo significa que:
  • 1 vai para 3,
  • 3 vai para 2,
  • 2 volta para 1,
  • 4 e 5 permanecem fixos (já que não estão no ciclo).
O ciclo (1,3,2) tem comprimento 3, pois envolve 3 elementos. Como não há outros ciclos além dos fixos, a ordem da permutação será o comprimento desse ciclo.

Resposta

A ordem da permutação (1,3,2) em S5 é 3.

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