Encontre condições para , para que det , onde e I é a matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de que fazem o determinante de ser igual a zero, onde é uma matriz específica e é a matriz identidade. Isso está relacionado ao estudo de autovalores (ou valores próprios) de matrizes, que é um conceito importante em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e achar os valores de que fazem esse determinante ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 e a matriz identidade I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz dada é:
E a matriz identidade de ordem 3 é:
Passo 3
Agora, vamos formar a matriz A - kI = 0 - k & 1 & 1 1 & 0 - k & 1 1 & 1 & 0 - k = - k & 1 & 1 1 & -k & 1 1 & 1 & -k . Isso significa que vamos subtrair vezes a matriz identidade de . Fazendo isso, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A - kI) = -k cdot ( (-k)(-k) - (1)(1) ) - 1 cdot ( 1 cdot (-k) - 1 cdot 1 ) + 1 cdot ( 1 cdot 1 - (-k) cdot 1 ) . O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de .
Passo 7
Primeiro, multiplicamos a equação por -1 para facilitar:
k^3 - 3k - 2 = 0
Agora, vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o teorema das raízes racionais. Testamos 1^3 - 3(1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 neq 0 :
2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0
Testamos :
é uma raiz! Então, é um fator da equação.
Passo 8
Agora, vamos fazer a divisão polinomial ou usar a fatoração para encontrar os outros fatores. Dividindo k^3 - 3k - 2 = (k - 2)(k^2 + 2k + 1) por (k - 2)(k^2 + 2k + 1) = 0 :
Agora, temos:
Passo 9
Vamos resolver cada fator igual a zero:
k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2 = 0 Rightarrow k = -1 →
Para a segunda equação, resolvemos:
Passo 10
Encontramos duas soluções: e . Porém, na equação , é uma raiz de multiplicidade 2.