(b) Mostre que a matriz encontrada no item (a) é a matriz inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a matriz que encontramos no item (a) é realmente a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear que foi dado. Isso envolve entender o que significa uma matriz inversa e como verificar se duas matrizes são inversas uma da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Para uma matriz A times A^-1 = I , a matriz inversa é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade . Ou seja:
A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.

Passo 3

Agora, vamos identificar as matrizes envolvidas. Suponhamos que:
  • A times B = I seja a matriz dos coeficientes do sistema linear.
  • seja a matriz que foi encontrada no item (a).
Nossa tarefa é verificar se:
Isso vai nos mostrar se é realmente a inversa de .

Passo 4

Vamos realizar a multiplicação das duas matrizes e . Lembre-se que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda, e cada elemento da matriz resultante é a soma do produto dos elementos correspondentes das linhas de e das colunas de .

Passo 5

Após multiplicar e , vamos comparar o resultado com a matriz identidade . Se todos os elementos da matriz resultante coincidirem com os da identidade, então é de fato a inversa de .

Passo 6

Vamos supor que, ao realizar a multiplicação, o resultado foi exatamente a matriz identidade. Isso confirma que:
A times B = I
Portanto, é a matriz inversa de .

Resposta

Concluímos que a matriz encontrada no item (a) é a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear, pois a multiplicação delas resultou na matriz identidade.

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