(b) Mostre que a matriz encontrada no item (a) é a matriz inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a matriz que encontramos no item (a) é realmente a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear que foi dado. Isso envolve entender o que significa uma matriz inversa e como verificar se duas matrizes são inversas uma da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Para uma matriz
, a matriz inversa
é aquela que, quando multiplicada por
, resulta na matriz identidade
. Ou seja:
A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições.
Passo 3
Agora, vamos identificar as matrizes envolvidas. Suponhamos que:
-
seja a matriz dos coeficientes do sistema linear. -
seja a matriz que foi encontrada no item (a).
Nossa tarefa é verificar se:
Isso vai nos mostrar se
é realmente a inversa de
.
Passo 4
Vamos realizar a multiplicação das duas matrizes
e
. Lembre-se que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda, e cada elemento da matriz resultante é a soma do produto dos elementos correspondentes das linhas de
e das colunas de
.
Passo 5
Após multiplicar
e
, vamos comparar o resultado com a matriz identidade
. Se todos os elementos da matriz resultante coincidirem com os da identidade, então
é de fato a inversa de
.
Passo 6
Vamos supor que, ao realizar a multiplicação, o resultado foi exatamente a matriz identidade. Isso confirma que:
Portanto,
é a matriz inversa de
.
Resposta
Concluímos que a matriz encontrada no item (a) é a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear, pois a multiplicação delas resultou na matriz identidade.
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, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
d)
d)
(a) Expresse o polinômio
como combinação linear de
e
.
Considere os polinômios e
.
Considere os polinômios
(b) Mostre que o conjunto
é linearmente independentes.