Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(a) (Z2 times Z2,+);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular todos os subgrupos do grupo (Z2 times Z2,+). Isso está relacionado ao estudo de teoria de grupos, especificamente sobre como identificar subgrupos dentro de um grupo maior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são grupos, subgrupos e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Z2 times Z2. Esse símbolo representa o produto direto de dois grupos cíclicos de ordem 2. Em termos mais simples, é um conjunto de pares ordenados onde cada elemento é 0 ou 1, e a operação é a adição módulo 2. Os elementos de Z2 times Z2 são:
(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

Passo 3

Agora, vamos falar sobre subgrupos. Um subgrupo é um conjunto de elementos dentro de um grupo que, por si só, também forma um grupo com a mesma operação. Para identificar todos os subgrupos de Z2 times Z2, precisamos encontrar todos os conjuntos que satisfazem as propriedades de um subgrupo.

Passo 4

Começamos pelo subgrupo trivial, que sempre existe em qualquer grupo:
(0,0)
Esse é o menor subgrupo possível, contendo apenas o elemento neutro.

Passo 5

Em seguida, temos o próprio grupo como um subgrupo:
Z2 times Z2 = (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

Passo 6

Agora, vamos identificar os subgrupos de ordem 2. Um subgrupo de ordem 2 terá dois elementos: o elemento neutro e mais um elemento. Vamos pegar cada elemento não trivial e formar um subgrupo:
  1. Gerado por (0,1):
(0,0), (0,1)
  1. Gerado por (1,0):
(0,0), (1,0)
  1. Gerado por (1,1):
(0,0), (1,1)

Resposta

Os subgrupos de (Z2 times Z2,+) são:
  1. (0,0)
  2. (0,0), (0,1)
  3. (0,0), (1,0)
  4. (0,0), (1,1)

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