Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular todos os subgrupos do grupo
. Isso está relacionado ao estudo de teoria de grupos, especificamente sobre como identificar subgrupos dentro de um grupo maior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são grupos, subgrupos e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse símbolo representa o produto direto de dois grupos cíclicos de ordem 2. Em termos mais simples, é um conjunto de pares ordenados onde cada elemento é 0 ou 1, e a operação é a adição módulo 2. Os elementos de
são:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre subgrupos. Um subgrupo é um conjunto de elementos dentro de um grupo que, por si só, também forma um grupo com a mesma operação. Para identificar todos os subgrupos de
, precisamos encontrar todos os conjuntos que satisfazem as propriedades de um subgrupo.
Passo 4
Começamos pelo subgrupo trivial, que sempre existe em qualquer grupo:
Esse é o menor subgrupo possível, contendo apenas o elemento neutro.
Passo 5
Em seguida, temos o próprio grupo como um subgrupo:
Passo 6
Agora, vamos identificar os subgrupos de ordem 2. Um subgrupo de ordem 2 terá dois elementos: o elemento neutro e mais um elemento. Vamos pegar cada elemento não trivial e formar um subgrupo:
- Gerado por
:
- Gerado por
:
- Gerado por
:
Resposta
Os subgrupos de
são:
Exercícios relacionados
Determine todos os elementos
tais que
Determine
tais que:
(a) .
(a)
Mostre que o grupo diedral
é um subgrupo do grupo simétrico
.
(b) Mostre que o conjunto de retas em
com coeficiente angular 1 é um subgrupo de
.