Mostre que o grupo diedral
é um subgrupo do grupo simétrico
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente mostrar que o grupo diedral
é um subgrupo do grupo simétrico
. Isso envolve entender um pouco sobre grupos, subgrupos, grupos diedrais e simétricos. Vamos precisar saber como identificar se um conjunto com uma operação é realmente um subgrupo dentro de outro grupo maior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o grupo diedral
. Ele representa as simetrias de um quadrado, incluindo rotações e reflexões. Esse grupo tem 8 elementos: 4 rotações (incluindo a identidade, que é não rotacionar) e 4 reflexões.
Já o grupo simétrico
é o conjunto de todas as permutações possíveis de 4 elementos, ou seja, todas as maneiras de rearranjar 4 objetos. Ele tem
elementos.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subgrupo de
, precisamos verificar alguns critérios básicos para subgrupos:
- O grupo
deve estar contido em . -
deve satisfazer as propriedades de grupo dentro de (fechamento, existência de identidade, inversos e associatividade).
Passo 4
Vamos associar cada elemento de
a uma permutação em
. Pense no quadrado com seus 4 vértices etiquetados de 1 a 4. Cada rotação ou reflexão do quadrado corresponde a uma maneira de rearranjar esses números.
Por exemplo:
- A identidade (não girar) corresponde à permutação
. - Uma rotação de 90 graus pode corresponder à permutação
. - Uma reflexão pode corresponder a uma permutação como
.
Ao mapear todas as 8 simetrias de
para permutações específicas em
, vemos que todas essas permutações estão dentro de
.
Passo 5
Além disso, como
já é um grupo, qualquer subconjunto de
que também seja um grupo por si só será um subgrupo. Como verificamos que as 8 permutações correspondentes a
fecham sob a operação de composição e possuem inversos dentro desse conjunto, todas as condições para ser um subgrupo estão atendidas.
Resposta
Portanto, demonstramos que o grupo diedral
é, de fato, um subgrupo do grupo simétrico
.
Exercícios relacionados
Calcule todos os subgrupos dos seguintes grupos:
(a) ;
(a)
Determine todos os elementos
tais que
(b) Mostre que o conjunto de retas em
com coeficiente angular 1 é um subgrupo de
.
8
Mostre que os polinômios e
formam uma base para o espaço
. Em seguida, escreva o polinômio
como combinação linear desses elementos.
Mostre que os polinômios