Mostre que o grupo diedral D4 é um subgrupo do grupo simétrico S4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente mostrar que o grupo diedral é um subgrupo do grupo simétrico . Isso envolve entender um pouco sobre grupos, subgrupos, grupos diedrais e simétricos. Vamos precisar saber como identificar se um conjunto com uma operação é realmente um subgrupo dentro de outro grupo maior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o grupo diedral . Ele representa as simetrias de um quadrado, incluindo rotações e reflexões. Esse grupo tem 8 elementos: 4 rotações (incluindo a identidade, que é não rotacionar) e 4 reflexões.
Já o grupo simétrico é o conjunto de todas as permutações possíveis de 4 elementos, ou seja, todas as maneiras de rearranjar 4 objetos. Ele tem elementos.

Passo 3

Agora, para mostrar que é um subgrupo de , precisamos verificar alguns critérios básicos para subgrupos:
  1. O grupo deve estar contido em .
  2. deve satisfazer as propriedades de grupo dentro de (fechamento, existência de identidade, inversos e associatividade).

Passo 4

Vamos associar cada elemento de a uma permutação em . Pense no quadrado com seus 4 vértices etiquetados de 1 a 4. Cada rotação ou reflexão do quadrado corresponde a uma maneira de rearranjar esses números.
Por exemplo:
  • A identidade (não girar) corresponde à permutação .
  • Uma rotação de 90 graus pode corresponder à permutação .
  • Uma reflexão pode corresponder a uma permutação como .
Ao mapear todas as 8 simetrias de para permutações específicas em , vemos que todas essas permutações estão dentro de .

Passo 5

Além disso, como já é um grupo, qualquer subconjunto de que também seja um grupo por si só será um subgrupo. Como verificamos que as 8 permutações correspondentes a fecham sob a operação de composição e possuem inversos dentro desse conjunto, todas as condições para ser um subgrupo estão atendidas.

Resposta

Portanto, demonstramos que o grupo diedral é, de fato, um subgrupo do grupo simétrico .

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(a) (Z2 times Z2,+);
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f^2=e, f neq e
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8
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