(b) Mostre que a equação possui exatamente uma raíz real.

Passo 1

Então, a gente tem a equação e precisa mostrar que ela tem exatamente uma raiz real. Vamos usar conceitos de funções polinomiais e cálculo, como derivadas, para entender o comportamento dessa função e ver quantas vezes ela cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função . Queremos descobrir quantos pontos ela cruza o eixo , ou seja, quantas soluções reais a equação tem.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de quando vai para e para :
  • Para , o termo de maior grau domina, então .
  • Para , como o grau é ímpar, .
Isso indica que a função vai de a , então, pelo Teorema de Bolzano, ela pelo menos cruza o eixo uma vez.

Passo 4

Agora, vamos ver se a função pode cruzar o eixo mais de uma vez. Para isso, vamos analisar se a função é monotônica, ou seja, se ela sempre está aumentando ou sempre está diminuindo.
Para isso, calculamos a derivada de :

Passo 5

Vamos analisar o sinal da derivada :
  • Como é sempre não negativo (porque qualquer número elevado a uma potência par dá um resultado não negativo), também é não negativo.
  • Somando 5, que é positivo, temos que é sempre positivo para qualquer valor de .

Passo 6

Como para todo , isso significa que a função está sempre aumentando. Uma função que sempre aumenta pode cruzar o eixo no máximo uma vez.

Passo 7

Relacionando com o Passo 3, onde vimos que a função cruza o eixo pelo menos uma vez, e no Passo 6, onde vimos que ela pode cruzar no máximo uma vez, concluímos que a função tem exatamente uma raiz real.

Resposta

A equação possui exatamente uma raiz real.

Exercícios relacionados

(a) Mostre que a equação não tem mais do que duas raízes reais distintas.
Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto :
c) ;
Encontre F(s) pelo Teorema de Translação:
Justifique porque a função
não é diferenciável na origem.