(b) Mostre que a equação
possui exatamente uma raíz real.
Passo 1
Então, a gente tem a equação
e precisa mostrar que ela tem exatamente uma raiz real. Vamos usar conceitos de funções polinomiais e cálculo, como derivadas, para entender o comportamento dessa função e ver quantas vezes ela cruza o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função
. Queremos descobrir quantos pontos ela cruza o eixo
, ou seja, quantas soluções reais a equação
tem.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
quando
vai para
e para
:
- Para
, o termo de maior grau domina, então . - Para
, como o grau é ímpar, .
Isso indica que a função vai de
a
, então, pelo Teorema de Bolzano, ela pelo menos cruza o eixo
uma vez.
Passo 4
Agora, vamos ver se a função pode cruzar o eixo
mais de uma vez. Para isso, vamos analisar se a função é monotônica, ou seja, se ela sempre está aumentando ou sempre está diminuindo.
Para isso, calculamos a derivada de
:
Passo 5
Vamos analisar o sinal da derivada
:
- Como
é sempre não negativo (porque qualquer número elevado a uma potência par dá um resultado não negativo), também é não negativo. - Somando 5, que é positivo, temos que
é sempre positivo para qualquer valor de .
Passo 6
Como
para todo
, isso significa que a função
está sempre aumentando. Uma função que sempre aumenta pode cruzar o eixo
no máximo uma vez.
Passo 7
Relacionando com o Passo 3, onde vimos que a função cruza o eixo
pelo menos uma vez, e no Passo 6, onde vimos que ela pode cruzar no máximo uma vez, concluímos que a função
tem exatamente uma raiz real.
Resposta
A equação
possui exatamente uma raiz real.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que a equação
não tem mais do que duas raízes reais distintas.
Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto
:
c) ;
c)
Encontre F(s) pelo
Teorema de Translação:
Justifique porque a função
não é diferenciável na origem.