Encontre F(s) pelo
Teorema de Translação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de
usando o 1º Teorema de Translação. Isso faz parte da matéria de transformar funções do domínio do tempo para o domínio de s, que é super útil em resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Translação. Esse teorema nos ajuda a transformar funções que são multiplicadas por uma exponencial, tipo
. A regra é:
onde
é a transformada de Laplace e
é a transformada de
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Aqui,
e
. Então, vamos primeiro descobrir a transformada de
. Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a transformação.
Passo 4
A identidade para
é:
Isso simplifica nossa função para:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
e
Passo 6
Aplicando essas fórmulas, temos:
e
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais colocando tudo em um único denominador:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
(b) Mostre que a equação
possui exatamente uma raíz real.
(a) Mostre que a equação
não tem mais do que duas raízes reais distintas.
Justifique porque a função
não é diferenciável na origem.
Calcule a transformada de Laplace pela definição
: