Encontre F(s) pelo Teorema de Translação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de usando o 1º Teorema de Translação. Isso faz parte da matéria de transformar funções do domínio do tempo para o domínio de s, que é super útil em resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Translação. Esse teorema nos ajuda a transformar funções que são multiplicadas por uma exponencial, tipo . A regra é:
onde é a transformada de Laplace e é a transformada de .

Passo 3

No nosso caso, temos . Aqui, e . Então, vamos primeiro descobrir a transformada de . Para isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a transformação.

Passo 4

A identidade para é:
Isso simplifica nossa função para:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
e

Passo 6

Aplicando essas fórmulas, temos:
e

Passo 7

Agora, juntando tudo:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais colocando tudo em um único denominador:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

(b) Mostre que a equação possui exatamente uma raíz real.
(a) Mostre que a equação não tem mais do que duas raízes reais distintas.
Justifique porque a função
não é diferenciável na origem.
Calcule a transformada de Laplace pela definição :