b) Mostre que
quando
ao longo de qualquer reta
. Isso implica que
quando
? Explique;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para mostrar que a função
tende a 0 quando
se aproxima de
ao longo de qualquer reta
. Além disso, precisamos analisar se isso implica que
realmente tende a 0 quando
se aproxima de
de forma geral. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e entender como os limites funcionam ao longo de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
tende a 0 ao longo de qualquer reta
. Isso quer dizer que, se substituirmos
por
na função, e então deixarmos
se aproximar de 0, o valor da função vai se aproximar de 0. Ou seja, estamos analisando o limite de
quando
tende a 0.
Passo 3
Vamos formalizar isso matematicamente. Substituindo
na função, temos:
Isso significa que, para qualquer valor de
(a inclinação da reta), o limite de
à medida que
se aproxima de 0 é 0.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esse comportamento ao longo de todas as retas
garante que o limite geral de
quando
se aproxima de
também é 0. Em outras palavras, se o limite é 0 em todas as direções retas, será que o limite geral também é 0?
Passo 5
A resposta aqui é um pouco mais complicada. Embora a função tender a 0 ao longo de qualquer reta
, isso não necessariamente implica que o limite geral
. Isso porque o comportamento da função pode variar ao seguir outros caminhos que não sejam retas. Por exemplo, curvas como
ou
podem ter comportamentos diferentes, e se o limite ao longo desses caminhos não for 0, então o limite geral não existe ou não é 0.
Resposta
Portanto, embora
tenda a 0 ao longo de qualquer reta
, isso não implica necessariamente que
tende a 0 quando
se aproxima de
de forma geral.
Exercícios relacionados
Determine os valores da função nos pontos específicos.
Fazendo uma mudança de variável, determine as raízes reais das equações.
.
Encontre e esboce o domínio para cada função.
Esboce a maior região na qual a função
é contínua.
a) ;
a)