b) Mostre que f(x, y) -> 0 quando (x, y) -> (0, 0) ao longo de qualquer reta y = m x. Isso implica que f(x, y) -> 0 quando (x, y) -> (0, 0) ? Explique;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para mostrar que a função tende a 0 quando se aproxima de ao longo de qualquer reta . Além disso, precisamos analisar se isso implica que realmente tende a 0 quando se aproxima de de forma geral. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e entender como os limites funcionam ao longo de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que tende a 0 ao longo de qualquer reta . Isso quer dizer que, se substituirmos por na função, e então deixarmos se aproximar de 0, o valor da função vai se aproximar de 0. Ou seja, estamos analisando o limite de quando tende a 0.

Passo 3

Vamos formalizar isso matematicamente. Substituindo na função, temos:
Isso significa que, para qualquer valor de (a inclinação da reta), o limite de à medida que se aproxima de 0 é 0.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esse comportamento ao longo de todas as retas garante que o limite geral de quando se aproxima de também é 0. Em outras palavras, se o limite é 0 em todas as direções retas, será que o limite geral também é 0?

Passo 5

A resposta aqui é um pouco mais complicada. Embora a função tender a 0 ao longo de qualquer reta , isso não necessariamente implica que o limite geral . Isso porque o comportamento da função pode variar ao seguir outros caminhos que não sejam retas. Por exemplo, curvas como ou podem ter comportamentos diferentes, e se o limite ao longo desses caminhos não for 0, então o limite geral não existe ou não é 0.

Resposta

Portanto, embora tenda a 0 ao longo de qualquer reta , isso não implica necessariamente que tende a 0 quando se aproxima de de forma geral.

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