Encontre e esboce o domínio para cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar e esboçar o domínio da função
. O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas de duas variáveis e domínio de funções. Para resolver isso, vamos precisar descobrir para quais valores de
e
a expressão dentro do logaritmo é positiva, já que o logaritmo natural só aceita números maiores que zero.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o logaritmo natural
está definido apenas quando
. Então, para a nossa função
, a expressão dentro do logaritmo deve ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa desigualdade para entender melhor os valores de
e
que satisfazem essa condição. Vamos reorganizar os termos:
Podemos agrupar os termos que têm
:
Passo 4
Observamos que
é um fator comum. Vamos fatorar isso:
Agora, temos o produto de dois fatores sendo maior que zero. Isso significa que ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos.
Passo 5
Vamos analisar os dois casos:
-
Ambos os fatores são positivos:
-
Ambos os fatores são negativos:
Essas duas condições descrevem as regiões onde a função está definida.
Resposta
O domínio da função
consiste em todos os pares
que satisfazem:
Ou seja, o domínio é dado por: