Encontre e esboce o domínio para cada função.
f(x, y) = ln(x*y + x - y - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar e esboçar o domínio da função . O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas de duas variáveis e domínio de funções. Para resolver isso, vamos precisar descobrir para quais valores de e a expressão dentro do logaritmo é positiva, já que o logaritmo natural só aceita números maiores que zero.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o logaritmo natural está definido apenas quando . Então, para a nossa função , a expressão dentro do logaritmo deve ser maior que zero:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa desigualdade para entender melhor os valores de e que satisfazem essa condição. Vamos reorganizar os termos:
Podemos agrupar os termos que têm :

Passo 4

Observamos que é um fator comum. Vamos fatorar isso:
Agora, temos o produto de dois fatores sendo maior que zero. Isso significa que ambos os fatores são positivos ou ambos são negativos.

Passo 5

Vamos analisar os dois casos:
  1. Ambos os fatores são positivos:
  2. Ambos os fatores são negativos:
Essas duas condições descrevem as regiões onde a função está definida.

Resposta

O domínio da função consiste em todos os pares que satisfazem:
Ou seja, o domínio é dado por:

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b) Mostre que f(x, y) -> 0 quando (x, y) -> (0, 0) ao longo de qualquer reta y = m x. Isso implica que f(x, y) -> 0 quando (x, y) -> (0, 0) ? Explique;
Determine os valores da função nos pontos específicos.
f(x, y) = sen(x y), f(pi, 1/4)
Esboce a maior região na qual a função f é contínua.
a) f(x, y) = y * ln(1 + x);
Expanda as expressões.
(x - 1/x)(x + 1/x).