Esboce a maior região na qual a função f é contínua.
a) f(x, y) = y * ln(1 + x);

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos descobrir a maior região onde a função é contínua. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade em funções de duas variáveis. Precisamos entender onde a função está definida e como isso afeta a continuidade de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural está definido apenas para . No nosso caso, temos . Então, para que esteja definida, precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos examinar a função completa . Sabemos que o produto de funções contínuas é contínuo onde ambas são definidas e contínuas. Aqui, é uma função polinomial simples, que é contínua em todo o plano . Portanto, a continuidade de depende apenas da continuidade de .

Passo 4

Concluímos que será contínua sempre que estiver definida, ou seja, quando . Não há restrições sobre , já que qualquer valor de não interfere na definição da função.

Passo 5

Resumindo, a maior região onde é contínua é o conjunto de todos os pares tais que . Em termos gráficos, isso corresponde a todo o plano à direita da reta .

Resposta

A função é contínua para todos os pontos onde . Portanto, a maior região de continuidade é:

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Encontre e esboce o domínio para cada função.
f(x, y) = ln(x*y + x - y - 1)
b) Mostre que f(x, y) -> 0 quando (x, y) -> (0, 0) ao longo de qualquer reta y = m x. Isso implica que f(x, y) -> 0 quando (x, y) -> (0, 0) ? Explique;
Expanda as expressões.
(x - 1/x)(x + 1/x).
Encontre e esboce o domínio para cada função.
f(x, y) = 1 / ln(4 - x^2 - y^2)