Esboce a maior região na qual a função
é contínua.
a)
;
a)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos descobrir a maior região onde a função
é contínua. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade em funções de duas variáveis. Precisamos entender onde a função
está definida e como isso afeta a continuidade de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural
está definido apenas para
. No nosso caso, temos
. Então, para que
esteja definida, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos examinar a função completa
. Sabemos que o produto de funções contínuas é contínuo onde ambas são definidas e contínuas. Aqui,
é uma função polinomial simples, que é contínua em todo o plano
. Portanto, a continuidade de
depende apenas da continuidade de
.
Passo 4
Concluímos que
será contínua sempre que
estiver definida, ou seja, quando
. Não há restrições sobre
, já que qualquer valor de
não interfere na definição da função.
Passo 5
Resumindo, a maior região onde
é contínua é o conjunto de todos os pares
tais que
. Em termos gráficos, isso corresponde a todo o plano
à direita da reta
.
Resposta
A função
é contínua para todos os pontos
onde
. Portanto, a maior região de continuidade é:
Exercícios relacionados
Encontre e esboce o domínio para cada função.
b) Mostre que
quando
ao longo de qualquer reta
. Isso implica que
quando
? Explique;
Expanda as expressões.
.
Encontre e esboce o domínio para cada função.