b) Mostre que converge.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver o exercício que pede para mostrar que a integral converge. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e testes de convergência. Vamos precisar entender como comparar a nossa função com outra que já sabemos que converge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . Sabemos que o seno de x, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de x. Isso significa que estará sempre entre 0 e 2, porque se for 1, teremos 0, e se for -1, teremos 2.

Passo 3

Então, podemos estabelecer que:
Isso é útil porque agora temos uma função simples, , com a qual podemos comparar a nossa função original.

Passo 4

Agora, vamos lembrar do Teste da Comparação para integrais impróprias. Ele diz que se para todo x no intervalo considerado e se converge, então também converge.

Passo 5

A gente sabe que é uma integral p onde p = 2. Como p é maior que 1, essa integral converge. Vamos calcular rápida pra confirmar:
Avaliando de 1 até o infinito:
Portanto, a integral de de 1 até o infinito converge.

Passo 6

Como nossa função está sempre entre 0 e , e a integral de converge, pelo Teste da Comparação, a integral também converge.

Resposta

A integral converge.

Exercícios relacionados

Estude a convergência de cada integral imprópria.
Mostre que para . Use o princípio de comparação para mostrar que é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que .
b) Mostre que se , então
c) Sabendo que , calcule e .