b) Mostre que
converge.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver o exercício que pede para mostrar que a integral
converge. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e testes de convergência. Vamos precisar entender como comparar a nossa função com outra que já sabemos que converge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral:
. Sabemos que o seno de x,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de x. Isso significa que
estará sempre entre 0 e 2, porque se
for 1, teremos 0, e se for -1, teremos 2.
Passo 3
Então, podemos estabelecer que:
Isso é útil porque agora temos uma função simples,
, com a qual podemos comparar a nossa função original.
Passo 4
Agora, vamos lembrar do Teste da Comparação para integrais impróprias. Ele diz que se
para todo x no intervalo considerado e se
converge, então
também converge.
Passo 5
A gente sabe que
é uma integral p onde p = 2. Como p é maior que 1, essa integral converge. Vamos calcular rápida pra confirmar:
Avaliando de 1 até o infinito:
Portanto, a integral de
de 1 até o infinito converge.
Passo 6
Como nossa função
está sempre entre 0 e
, e a integral de
converge, pelo Teste da Comparação, a integral
também converge.
Resposta
A integral
converge.
Exercícios relacionados
Estude a convergência de cada integral imprópria.
Mostre que
para
. Use o princípio de comparação para mostrar que
é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que .
Curiosidade: É possível mostrar que
b) Mostre que se
, então
c) Sabendo que
, calcule
e
.