b) Mostre que integral1^infty 1-sin xx^2 d x converge.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver o exercício que pede para mostrar que a integral converge. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e testes de convergência. Vamos precisar entender como comparar a nossa função com outra que já sabemos que converge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral: . Sabemos que o seno de x, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de x. Isso significa que estará sempre entre 0 e 2, porque se for 1, teremos 0, e se for -1, teremos 2.

Passo 3

Então, podemos estabelecer que:
0 <= 1 - sin xx^2 <= 2x^2
Isso é útil porque agora temos uma função simples, , com a qual podemos comparar a nossa função original.

Passo 4

Agora, vamos lembrar do Teste da Comparação para integrais impróprias. Ele diz que se para todo x no intervalo considerado e se converge, então também converge.

Passo 5

A gente sabe que integral 2x^2 dx = -2x + C é uma integral p onde p = 2. Como p é maior que 1, essa integral converge. Vamos calcular rápida pra confirmar:
limb to infty (-2b + 21) = 0 + 2 = 2
Avaliando de 1 até o infinito:
Portanto, a integral de de 1 até o infinito converge.

Passo 6

Como nossa função está sempre entre 0 e , e a integral de converge, pelo Teste da Comparação, a integral também converge.

Resposta

A integral converge.

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