Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa estudar se a integral imprópria converge ou diverge. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral imprópria é aquela em que pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é infinito.
Passo 3
Para estudar a convergência dessa integral, vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito. Isso porque o comportamento da função para grandes valores de vai determinar se a integral vai somar um valor finito (converge) ou não (diverge).
Passo 4
Observando a função , percebemos que à medida que cresce, o termo cresce muito mais rápido que . Isso significa que para grande, se torna insignificante comparado a , então podemos aproximar a função por .
Passo 5
Agora, vamos comparar nossa função com . Sabemos que a integral de de 1 até o infinito converge, porque , que é um número finito.
Passo 6
Usando o teste de comparação, já que para todo e a integral de converge, podemos concluir que a integral original também converge.