Estude a convergência de cada integral imprópria.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa estudar se a integral imprópria converge ou diverge. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral imprópria é aquela em que pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é infinito.

Passo 3

Para estudar a convergência dessa integral, vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito. Isso porque o comportamento da função para grandes valores de vai determinar se a integral vai somar um valor finito (converge) ou não (diverge).

Passo 4

Observando a função , percebemos que à medida que cresce, o termo cresce muito mais rápido que . Isso significa que para grande, se torna insignificante comparado a , então podemos aproximar a função por .

Passo 5

Agora, vamos comparar nossa função com . Sabemos que a integral de de 1 até o infinito converge, porque , que é um número finito.

Passo 6

Usando o teste de comparação, já que para todo e a integral de converge, podemos concluir que a integral original também converge.

Resposta

A integral converge.

Exercícios relacionados

Mostre que para . Use o princípio de comparação para mostrar que é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que .
Calcule
, em que
b) Mostre que converge.
b) Mostre que se , então