Mostre que
para
. Use o princípio de comparação para mostrar que
é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que
.
Curiosidade: É possível mostrar que
Passo 1
Então, o que temos aqui é um exercício de cálculo que nos pede para mostrar duas coisas:
- Que para todo
, a função está entre 0 e , ou seja, . - Usando esse resultado, provar que a integral
é convergente.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades de funções e o Princípio de Comparação para integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a desigualdade
para
.
Sabemos que a função exponencial
diminui conforme
aumenta. Agora, vamos comparar
com
.
Para
, temos que
, porque
multiplicado por ele mesmo será maior ou igual a
quando
é pelo menos 1.
Então,
, já que multiplicar por -1 inverte a desigualdade.
Aplicando a função exponencial em ambos os lados, que é uma função crescente, mantemos a desigualdade:
E claro,
é sempre positivo, então
.
Passo 3
Agora que estabelecemos que
para
, vamos usar o Princípio de Comparação para provar que a integral
converge.
O Princípio de Comparação nos diz que se
para todo
no intervalo considerado, e se
converge, então
também converge.
Vamos dividir a integral em duas partes:
A primeira parte,
, é a integral de uma função contínua em um intervalo fechado e, portanto, sempre converge.
Para a segunda parte,
, já sabemos que
para
. Sabemos também que
é uma integral convergente (porque a integral de
de 1 até o infinito dá
).
Portanto, pelo Princípio de Comparação,
também converge.
Resposta
Combinando as duas partes, concluímos que
é convergente.
Exercícios relacionados
Calcule
, em que
Suponha
. Verifique se
é convergente ou não. Caso seja convergente, determine seu valor em função de
.
Estude a convergência de cada integral imprópria.
b) Mostre que
converge.