Mostre que 0 <= e^-x^2 <= e^-x para x >= 1. Use o princípio de comparação para mostrar que integral0^infty e^-x^2 d x é convergente.
Curiosidade: É possível mostrar que integral0^infty e^-x^2 d x=raizpi2.

Passo 1

Então, o que temos aqui é um exercício de cálculo que nos pede para mostrar duas coisas:
  1. Que para todo , a função está entre 0 e , ou seja, .
  2. Usando esse resultado, provar que a integral é convergente.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades de funções e o Princípio de Comparação para integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a desigualdade e^-x^2 <= e^-x para .
Sabemos que a função exponencial diminui conforme aumenta. Agora, vamos comparar com .
Para , temos que , porque multiplicado por ele mesmo será maior ou igual a quando é pelo menos 1.
Então, , já que multiplicar por -1 inverte a desigualdade.
Aplicando a função exponencial em ambos os lados, que é uma função crescente, mantemos a desigualdade:
E claro, é sempre positivo, então .

Passo 3

Agora que estabelecemos que integral0^infty e^-x^2 dx = integral0^1 e^-x^2 dx + integral1^infty e^-x^2 dx para , vamos usar o Princípio de Comparação para provar que a integral converge.
O Princípio de Comparação nos diz que se para todo no intervalo considerado, e se converge, então também converge.
Vamos dividir a integral em duas partes:
A primeira parte, , é a integral de uma função contínua em um intervalo fechado e, portanto, sempre converge.
Para a segunda parte, , já sabemos que para . Sabemos também que é uma integral convergente (porque a integral de de 1 até o infinito dá ).
Portanto, pelo Princípio de Comparação, também converge.

Resposta

Combinando as duas partes, concluímos que é convergente.

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