b) Mostre que se p neq-1, então
integral x^p ln x d x=x^p+1p+1(ln x-1p+1)+C

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da nossa integral que vão corresponder a integral u , dv = uv - integral v , du e u = ln x e dv = x^p , dx na fórmula de integração por partes:
Escolhemos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = 1x , dx e v = integral x^p , dx = x^p+1p+1 (válido para p neq -1) :
á

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^p ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo = ln x cdot x^p+1p+1 - integral x^p+1p+1 cdot 1x , dx , , :

Passo 5

Simplificamos a integral resultante:
integral x^p+1p+1 cdot 1x , dx = 1p+1 integral x^p , dx = 1p+1 cdot x^p+1p+1 = x^p+1(p+1)^2

Passo 6

Substituímos de volta na expressão anterior:
integral x^p ln x , dx = x^p+1p+1 ln x - x^p+1(p+1)^2
Fatorando = x^p+1p+1 ( ln x - 1p+1 ) + C :

Resposta

Portanto, se integral x^p ln x , dx = x^p+1p+1(ln x - 1p+1) + C ,

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