(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Determinar todos os subgrupos de Z2 times Z3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos que encontrar todos os subgrupos de . Isso está no campo da teoria de grupos, que estuda estruturas matemáticas com uma operação definida. Para resolver, vamos precisar entender o que são grupos, produtos diretos e subgrupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Esse símbolo representa o produto direto dos grupos cíclicos e . O grupo tem dois elementos: 0 e 1, e tem três elementos: 0, 1 e 2. O produto direto combina esses elementos em pares ordenados, formando um grupo com elementos.

Passo 3

Agora, vamos pensar nos subgrupos. Um subgrupo é um conjunto de elementos dentro do grupo maior que também forma um grupo sob a mesma operação. Para encontrar todos os subgrupos de , precisamos considerar subconjuntos que satisfaçam as propriedades de fechamento, existência de inverso e elemento neutro.

Passo 4

Sabemos que a ordem de um subgrupo (o número de elementos nele) deve dividir a ordem do grupo original, que é 6. Então, os possíveis tamanhos de subgrupos são 1, 2, 3 e 6.

Passo 5

Vamos começar com o subgrupo de ordem 1. Esse é simplesmente o conjunto contendo apenas o elemento neutro, que no caso é (0,0).

Passo 6

Agora, os subgrupos de ordem 2. Precisamos encontrar pares de elementos que, ao serem combinados, formem um grupo com dois elementos. Um exemplo é {(0,0), (1,0)}. Outro exemplo é {(0,0), (1,1)} e {(0,0), (1,2)}.

Passo 7

Em seguida, os subgrupos de ordem 3. Aqui, buscamos conjuntos com três elementos que formam um grupo. Um subgrupo possível é {(0,0), (0,1), (0,2)}.

Passo 8

Por fim, temos o subgrupo de ordem 6, que é o próprio grupo .

Resposta

Todos os subgrupos de são:
  1. {(0,0)}
  2. {(0,0), (1,0)}
  3. {(0,0), (1,1)}
  4. {(0,0), (1,2)}
  5. {(0,0), (0,1), (0,2)}
  6. (o grupo inteiro)

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