(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Determinar todos os subgrupos de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos que encontrar todos os subgrupos de
. Isso está no campo da teoria de grupos, que estuda estruturas matemáticas com uma operação definida. Para resolver, vamos precisar entender o que são grupos, produtos diretos e subgrupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Esse símbolo representa o produto direto dos grupos cíclicos
e
. O grupo
tem dois elementos: 0 e 1, e
tem três elementos: 0, 1 e 2. O produto direto combina esses elementos em pares ordenados, formando um grupo com
elementos.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos subgrupos. Um subgrupo é um conjunto de elementos dentro do grupo maior que também forma um grupo sob a mesma operação. Para encontrar todos os subgrupos de
, precisamos considerar subconjuntos que satisfaçam as propriedades de fechamento, existência de inverso e elemento neutro.
Passo 4
Sabemos que a ordem de um subgrupo (o número de elementos nele) deve dividir a ordem do grupo original, que é 6. Então, os possíveis tamanhos de subgrupos são 1, 2, 3 e 6.
Passo 5
Vamos começar com o subgrupo de ordem 1. Esse é simplesmente o conjunto contendo apenas o elemento neutro, que no caso é (0,0).
Passo 6
Agora, os subgrupos de ordem 2. Precisamos encontrar pares de elementos que, ao serem combinados, formem um grupo com dois elementos. Um exemplo é {(0,0), (1,0)}. Outro exemplo é {(0,0), (1,1)} e {(0,0), (1,2)}.
Passo 7
Em seguida, os subgrupos de ordem 3. Aqui, buscamos conjuntos com três elementos que formam um grupo. Um subgrupo possível é {(0,0), (0,1), (0,2)}.
Passo 8
Por fim, temos o subgrupo de ordem 6, que é o próprio grupo
.
Resposta
Todos os subgrupos de
são:
- {(0,0)}
- {(0,0), (1,0)}
- {(0,0), (1,1)}
- {(0,0), (1,2)}
- {(0,0), (0,1), (0,2)}
-
(o grupo inteiro)
Exercícios relacionados
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em
, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
d)
d)
(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 51) Mostrar que se
e
são subgrupos de
, então
também é um subgrupo de
(b) Mostre que a matriz encontrada no item (a) é a matriz inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear dado.
(a) Expresse o polinômio
como combinação linear de
e
.
Considere os polinômios e
.
Considere os polinômios