(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em Z12, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
d) 5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a ordem do elemento 5 no conjunto Z12. Aqui, estamos trabalhando com a Teoria dos Grupos, especificamente com grupos abelianos sob a operação de adição módulo 12. Para resolver, vamos precisar entender o que é a ordem de um elemento em um grupo.

Passo 2

A ordem de um elemento em um grupo é o menor número positivo de vezes que precisamos adicionar esse elemento a si mesmo para obter a identidade do grupo. No caso de Z12, a operação é a adição módulo 12 e a identidade é 0.

Passo 3

Para encontrar a ordem de 5, precisamos achar o menor inteiro positivo k tal que:
k cdot 5 = 0 em Z12
Isso significa que 5k deve ser múltiplo de 12. Em outras palavras, buscamos o menor k onde:
5k equiv 0 pmod12

Passo 4

Vamos encontrar o menor k que satisfaz a condição acima. Primeiro, calculamos o máximo divisor comum (mdc) entre 5 e 12:
mdc(5, 12) = 1
A ordem de um elemento a em Zn é dada por:
ord(a) = nmdc(a, n)
Aplicando isso:
ord(5) = 121 = 12

Resposta

A ordem de 5 em Z12 é 12.

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