(NASCIMENTO; FEITOSA, 2013, p. 57) Em
, encontrar as ordens dos seguintes elementos:
d)
d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a ordem do elemento
no conjunto
. Aqui, estamos trabalhando com a Teoria dos Grupos, especificamente com grupos abelianos sob a operação de adição módulo 12. Para resolver, vamos precisar entender o que é a ordem de um elemento em um grupo.
Passo 2
A ordem de um elemento em um grupo é o menor número positivo de vezes que precisamos adicionar esse elemento a si mesmo para obter a identidade do grupo. No caso de
, a operação é a adição módulo 12 e a identidade é
.
Passo 3
Para encontrar a ordem de
, precisamos achar o menor inteiro positivo
tal que:
Isso significa que
deve ser múltiplo de 12. Em outras palavras, buscamos o menor
onde:
Passo 4
Vamos encontrar o menor
que satisfaz a condição acima. Primeiro, calculamos o máximo divisor comum (mdc) entre 5 e 12:
A ordem de um elemento
em
é dada por:
Aplicando isso:
Resposta
A ordem de
em
é 12.