(b) Mostre que, se
, então
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, se
, então:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra e propriedades de exponenciação. Precisamos manipular a expressão dada e comparar os termos para chegar na desigualdade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expressão
pode ser simplificada usando a fórmula da diferença de potências. Essa fórmula diz que:
Então, quando dividimos por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo dessa soma. Sabemos que
, o que significa que
. Portanto, para cada termo
onde
varia de 0 a
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo), obtemos:
Isso nos mostra que cada termo da soma é menor que
.
Passo 4
Como temos
termos na soma
, e cada um é menor que
, podemos dizer que:
Portanto:
Resposta
A desigualdade
é verdadeira quando
.
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para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
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