Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
f(x)=tg^2 x+cotg^2 x+1

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida , onde . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral e identidades trigonométricas. Precisaremos simplificar a função usando identidades trigonométricas antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da função tan^2x = sec^2x - 1 usando identidades trigonométricas conhecidas:
cot^2x = csc^2x - 1
f(x) = (sec^2x - 1) + (csc^2x - 1) + 1
Substituindo essas identidades na função :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão resultante:
f(x) = sec^2x - 1 + csc^2x - 1 + 1 = sec^2x + csc^2x - 1

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral f(x) , dx = integral sec^2x , dx + integral csc^2x , dx - integral 1 , dx
Sabemos que:
integral sec^2x , dx = tan x + C
integral csc^2x , dx = -cot x + C
integral 1 , dx = x + C

Passo 5

Aplicando as integrais conhecidas:
integral f(x) , dx = tan x - cot x - x + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral (tan^2x + cot^2x + 1) , dx = tan x - cot x - x + C

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