Encontre a integral indefinida para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Este exercício pertence ao estudo das integrais no cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, precisaremos aplicar as fórmulas de antiderivadas das funções trigonométricas e, se necessário, usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes distintas, aproveitando que a integral da soma é a soma das integrais:

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.

Passo 4

Para a primeira parte, , sabemos que a derivada de é . Portanto, a antiderivada de é . Assim:
onde é uma constante de integração.

Passo 5

Para a segunda parte, , lembramos que a derivada de é . Portanto, a antiderivada de é . Assim:
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Combinando as duas partes, temos:
Como e são constantes de integração, podemos agrupá-las em uma única constante . Portanto, a solução geral é:

Resposta

A integral indefinida é , onde é a constante de integração.

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(b) Mostre que, se , então
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