Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
. Este exercício pertence ao estudo das integrais no cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, precisaremos aplicar as fórmulas de antiderivadas das funções trigonométricas e, se necessário, usar a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes distintas, aproveitando que a integral da soma é a soma das integrais:
Passo 3
Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Passo 4
Para a primeira parte,
, sabemos que a derivada de
é
. Portanto, a antiderivada de
é
. Assim:
onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Para a segunda parte,
, lembramos que a derivada de
é
. Portanto, a antiderivada de
é
. Assim:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Combinando as duas partes, temos:
Como
e
são constantes de integração, podemos agrupá-las em uma única constante
. Portanto, a solução geral é:
Resposta
A integral indefinida é
, onde
é a constante de integração.
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para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
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para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
(b) Mostre que, se
, então
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,