Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
f(x)=2 sec x tg x-cosec^2 x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral (2 sec x tan x - csc^2 x) dx. Este exercício pertence ao estudo das integrais no cálculo, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, precisaremos aplicar as fórmulas de antiderivadas das funções trigonométricas e, se necessário, usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes distintas, aproveitando que a integral da soma é a soma das integrais:
integral (2 sec x tan x - csc^2 x) dx = 2 integral sec x tan x , dx - integral csc^2 x , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.

Passo 4

Para a primeira parte, 2 integral sec x tan x , dx, sabemos que a derivada de sec x é sec x tan x. Portanto, a antiderivada de sec x tan x é sec x. Assim:
2 integral sec x tan x , dx = 2 sec x + C1
onde C1 é uma constante de integração.

Passo 5

Para a segunda parte, - integral csc^2 x , dx, lembramos que a derivada de cot x é - csc^2 x. Portanto, a antiderivada de csc^2 x é - cot x. Assim:
- integral csc^2 x , dx = - (-cot x) + C2 = cot x + C2
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Combinando as duas partes, temos:
2 sec x + C1 + cot x + C2
Como C1 e C2 são constantes de integração, podemos agrupá-las em uma única constante C. Portanto, a solução geral é:
2 sec x + cot x + C

Resposta

A integral indefinida é 2 sec x + cot x + C, onde C é a constante de integração.

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