Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
f(x)=raizx(x+1x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida onde . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos simplificar a função e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão f(x) = raizx cdot x + raizx cdot 1x = x^1/2 cdot x + x^1/2 cdot x^-1 . Sabemos que é o mesmo que . Então, distribuindo na expressão dentro dos parênteses:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo usando as propriedades das potências. Quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes:
x^1/2 cdot x = x^1/2 + 1 = x^3/2
x^1/2 cdot x^-1 = x^1/2 - 1 = x^-1/2
Então, a função fica:
f(x) = x^3/2 + x^-1/2

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Integrando cada termo:
integral x^3/2 dx = x^3/2 + 13/2 + 1 = x^5/25/2 = 25 x^5/2
integral x^-1/2 dx = x^-1/2 + 1-1/2 + 1 = x^1/21/2 = 2 x^1/2

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral raizx(x + 1x) dx = 25 x^5/2 + 2 x^1/2 + C

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