(b) Mostre que o subconjunto de formado pelas matrizes simétricas é um subespaço vetorial de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto de todas as matrizes simétricas de tamanho com entradas reais, chamado , é um subespaço vetorial. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz simétrica e quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos fora da diagonal principal são espelhados em relação a ela.
Passo 3
Agora, para mostrar que o conjunto de matrizes simétricas é um subespaço vetorial, temos que verificar três condições:
A matriz zero está no conjunto.
O conjunto é fechado sob adição de vetores.
O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Vamos começar com a primeira condição: a matriz zero. A matriz zero, denotada por , tem todos os seus elementos iguais a zero. Claro que , então a matriz zero é simétrica e está no nosso conjunto.
Passo 5
Agora, a segunda condição: fechamento sob adição. Suponha que temos duas matrizes simétricas, e , no nosso conjunto. Queremos mostrar que também é simétrica. Vamos calcular a transposta:
Como e são simétricas, e . Então:
Ou seja, é simétrica e também está no conjunto.
Passo 6
Por fim, a terceira condição: fechamento sob multiplicação por escalar. Se temos uma matriz simétrica e um escalar , queremos ver se é simétrica. Vamos calcular a transposta:
Como é simétrica, . Então:
Portanto, também é simétrica e pertence ao nosso conjunto.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são satisfeitas, concluímos que o conjunto de matrizes simétricas em é de fato um subespaço vetorial.