(b) Mostre que o subconjunto de Mn times n(R) formado pelas matrizes simétricas é um subespaço vetorial de Mn times n(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto de todas as matrizes simétricas de tamanho n times n com entradas reais, chamado Mn times n(R), é um subespaço vetorial. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é uma matriz simétrica e quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso significa que os elementos fora da diagonal principal são espelhados em relação a ela.

Passo 3

Agora, para mostrar que o conjunto de matrizes simétricas é um subespaço vetorial, temos que verificar três condições:
  1. A matriz zero está no conjunto.
  2. O conjunto é fechado sob adição de vetores.
  3. O conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Vamos começar com a primeira condição: a matriz zero. A matriz zero, denotada por 0, tem todos os seus elementos iguais a zero. Claro que 0 = 0^T, então a matriz zero é simétrica e está no nosso conjunto.

Passo 5

Agora, a segunda condição: fechamento sob adição. Suponha que temos duas matrizes simétricas, A e B, no nosso conjunto. Queremos mostrar que A + B também é simétrica. Vamos calcular a transposta:
(A + B)^T = A^T + B^T
Como A e B são simétricas, A^T = A e B^T = B. Então:
(A + B)^T = A + B
Ou seja, A + B é simétrica e também está no conjunto.

Passo 6

Por fim, a terceira condição: fechamento sob multiplicação por escalar. Se temos uma matriz simétrica A e um escalar k in R, queremos ver se kA é simétrica. Vamos calcular a transposta:
(kA)^T = kA^T
Como A é simétrica, A^T = A. Então:
(kA)^T = kA
Portanto, kA também é simétrica e pertence ao nosso conjunto.

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são satisfeitas, concluímos que o conjunto de matrizes simétricas em Mn times n(R) é de fato um subespaço vetorial.

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