Encontre a base alpha de R^2, tal que [T]alpha^alpha=[rr1 & 0 0 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base alpha de R^2 tal que a matriz da transformação linear T nessa base seja 1 & 0 0 & -1. Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como as bases se relacionam com as matrizes das transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T: R^2 to R^2 pode ser representada por uma matriz em qualquer base que escolhermos. A matriz 1 & 0 0 & -1 é uma matriz diagonal, o que significa que as colunas dessa matriz correspondem aos autovalores da transformação. Nesse caso, os autovalores são 1 e -1.

Passo 3

Como a matriz está diagonalizada, isso implica que os vetores da base alpha devem ser autovetores correspondentes a esses autovalores. Ou seja:
  • O primeiro vetor da base, digamos v1, deve satisfazer T(v1) = 1 cdot v1.
  • O segundo vetor da base, digamos v2, deve satisfazer T(v2) = -1 cdot v2.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dois vetores que satisfaçam essas condições. Sem informações adicionais sobre T, podemos escolher vetores que sejam facilmente reconhecíveis como autovetores. Uma escolha comum é:
  • Para T(v1) = v1, podemos escolher v1 = 1 0.
  • Para T(v2) = -v2, podemos escolher v2 = 0 1.
Esses vetores são lineares e independentes, formando assim uma base de R^2.

Resposta

A base alpha procurada é 1 0, 0 1.

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