Encontre a base
de
, tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base
de
tal que a matriz da transformação linear
nessa base seja
. Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como as bases se relacionam com as matrizes das transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz em qualquer base que escolhermos. A matriz
é uma matriz diagonal, o que significa que as colunas dessa matriz correspondem aos autovalores da transformação. Nesse caso, os autovalores são 1 e -1.
Passo 3
Como a matriz está diagonalizada, isso implica que os vetores da base
devem ser autovetores correspondentes a esses autovalores. Ou seja:
- O primeiro vetor da base, digamos
, deve satisfazer . - O segundo vetor da base, digamos
, deve satisfazer .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar dois vetores que satisfaçam essas condições. Sem informações adicionais sobre
, podemos escolher vetores que sejam facilmente reconhecíveis como autovetores. Uma escolha comum é:
- Para
, podemos escolher . - Para
, podemos escolher .
Esses vetores são lineares e independentes, formando assim uma base de
.
Resposta
A base
procurada é
.
Exercícios relacionados
(b) Mostre que o subconjunto de
formado pelas matrizes simétricas é um subespaço vetorial de
.
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(b) .
(b)
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)