Encontre a base de , tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma base de tal que a matriz da transformação linear nessa base seja . Basicamente, estamos lidando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar entender como as bases se relacionam com as matrizes das transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz em qualquer base que escolhermos. A matriz é uma matriz diagonal, o que significa que as colunas dessa matriz correspondem aos autovalores da transformação. Nesse caso, os autovalores são 1 e -1.

Passo 3

Como a matriz está diagonalizada, isso implica que os vetores da base devem ser autovetores correspondentes a esses autovalores. Ou seja:
  • O primeiro vetor da base, digamos , deve satisfazer .
  • O segundo vetor da base, digamos , deve satisfazer .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dois vetores que satisfaçam essas condições. Sem informações adicionais sobre , podemos escolher vetores que sejam facilmente reconhecíveis como autovetores. Uma escolha comum é:
  • Para , podemos escolher .
  • Para , podemos escolher .
Esses vetores são lineares e independentes, formando assim uma base de .

Resposta

A base procurada é .

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(b) .
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