Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre determinar se o conjunto
no espaço
é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de independência linear da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente.
-
Conjunto Linearmente Independente (L.I.): Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, a única solução para a combinação
é quando todos os coeficientes são iguais a zero. -
Conjunto Linearmente Dependente (L.D.): Se pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, então o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
No nosso caso, o conjunto
tem apenas um vetor:
. Para verificar se
é L.I. ou L.D., vamos aplicar a definição.
Consideramos a equação:
Substituindo o vetor
:
Isso resulta em:
Para que isso seja verdadeiro, cada componente deve atender:
Passo 4
Resolvendo as equações:
A única solução possível é
.
Passo 5
Como a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é
, isso significa que não há dependência entre os vetores (no caso, apenas um vetor). Portanto, o conjunto
é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.
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Encontre a base
de
, tal que
(b) Mostre que o subconjunto de
formado pelas matrizes simétricas é um subespaço vetorial de
.
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
Considere
a transformação linear dada por
. Sejam
a base canônica do
e
base do
. Determine
e
. Que relação existe entre essas matrizes?