Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.)? Justifique.
(b) S=(2,-1,3), V=R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre determinar se o conjunto no espaço é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de independência linear da álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente.
  • Conjunto Linearmente Independente (L.I.): Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, a única solução para a combinação é quando todos os coeficientes são iguais a zero.
  • Conjunto Linearmente Dependente (L.D.): Se pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, então o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

No nosso caso, o conjunto c cdot v = 0 tem apenas um vetor: c cdot (2, -1, 3) = (0, 0, 0) . Para verificar se (2c, -c, 3c) = (0, 0, 0) é L.I. ou L.D., vamos aplicar a definição.
Consideramos a equação:
2c = 0 -c = 0 3c = 0
Substituindo o vetor :
Isso resulta em:
Para que isso seja verdadeiro, cada componente deve atender:

Passo 4

Resolvendo as equações:
2c = 0 Rightarrow c = 0 -c = 0 Rightarrow c = 0 3c = 0 Rightarrow c = 0
A única solução possível é .

Passo 5

Como a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é , isso significa que não há dependência entre os vetores (no caso, apenas um vetor). Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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