Seja A=(ca a vdots a)(llllb & b & ldots & b) Quanto é det(A) ? é

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é formada pelo produto de um vetor coluna onde todos os elementos são e um vetor linha onde todos os elementos são . O conteúdo da matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes e as propriedades das matrizes construídas a partir de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a matriz A = ab & ab & dots & ab ab & ab & dots & ab vdots & vdots & ddots & vdots ab & ab & dots & ab . Se o vetor coluna tem elementos todos iguais a e o vetor linha tem elementos todos iguais a , então a matriz será uma matriz onde todos os elementos são . Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é uma medida que nos dá informações sobre propriedades da matriz, como se ela é invertível. Mas, se todos os elementos de são iguais, isso significa que todas as linhas (ou colunas) da matriz são múltiplos umas das outras.

Passo 4

Quando todas as linhas de uma matriz são múltiplos umas das outras, a matriz é singular, ou seja, seu determinante é zero. Isso acontece porque não há “diversidade” suficiente entre as linhas para que a matriz tenha um volume não nulo no espaço.

Passo 5

Portanto, independentemente do valor de e , desde que , o determinante de será sempre zero.

Resposta

det(A) = 0

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