(b) Mostre que o vetor |v| u+|u| v é ortogonal ao vetor |v| u-|u| v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o vetor é ortogonal ao vetor . Isso está dentro da matéria de Álgebra Vetorial, especificamente envolvendo produtos escalar e vetorial. Para resolver, vamos precisar usar a definição de vetores ortogonais e calcular o produto escalar entre os dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. Ou seja, se temos vetores e , eles são ortogonais se .

Passo 3

Vamos chamar:
A = |v| u + |u| v
B = |v| u - |u| v
Agora, vamos calcular o produto escalar .

Passo 4

Expandindo o produto escalar:
A cdot B = (|v| u + |u| v) cdot (|v| u - |u| v)
Aplicando a distributiva:
= |v|^2 (u cdot u) - |u| |v| (u cdot v) + |u| |v| (v cdot u) - |u|^2 (v cdot v)

Passo 5

Sabemos que A cdot B = |v|^2 (u cdot u) - |u|^2 (v cdot v) , então os termos e se cancelam.
Ficamos com:

Passo 6

Lembrando que A cdot B = |v|^2 |u|^2 - |u|^2 |v|^2 = 0 e , substituímos:

Resposta

Como , os vetores e são ortogonais.

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