Seja
uma transformação linear e suponha que
. A notação (a) Mostre que existe um elemento não nulo
tal que
.
(b) Se
é uma base arbitrária de
, existe sempre um vetor
tal que
? Prove ou dê um contra-exemplo.
(b) Se
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma transformação linear
onde as dimensões dos espaços são tais que
e ambos são espaços finitos. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como o Teorema do Núcleo e a Teoria da Dimensão, para resolver as partes (a) e (b) do exercício.
Passo 2
Primeiro, para a parte (a), queremos mostrar que existe um vetor não nulo
tal que
. Isso está relacionado ao núcleo da transformação linear
, que é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
.
Passo 3
Segundo o Teorema do Núcleo e Imagem, sabemos que:
Onde
é a imagem de
e
é o núcleo de
.
Passo 4
Como
e
, então:
Substituindo na equação do Teorema do Núcleo e Imagem, temos:
Isso implica que
, ou seja, existe pelo menos um vetor no núcleo de
além do vetor zero.
Passo 5
Portanto, existe um vetor não nulo
tal que
. Isso conclui a parte (a).
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos saber se, para uma base arbitrária
de
, sempre existe um vetor
tal que
.
Passo 7
Vamos considerar uma base
de
. Se
contém pelo menos um vetor, e
, não necessariamente um dos vetores da base
estará no núcleo.
Passo 8
Para verificar isso, vamos dar um contra-exemplo. Seja
,
, e a transformação linear
definida por
.
Passo 9
Aqui,
. O núcleo de
é o conjunto de vetores
, que forma uma linha no plano. Se escolhermos a base
, vemos que
e
. Nesse caso, existe um vetor na base que está no núcleo.
Passo 10
No entanto, se escolhermos outra base, por exemplo
, então:
Nenhum dos vetores dessa base está no núcleo, mas o núcleo ainda existe.
Passo 11
Isso mostra que, embora o núcleo não seja vazio, não há garantia de que algum vetor de uma base arbitrária esteja no núcleo. Portanto, nem sempre existe um vetor
tal que
.
Resposta
(a) Existe um vetor não nulo
tal que
.
(b) Não, nem sempre existe um vetor da base
que está no núcleo de
. O contra-exemplo com
mostra que pode não haver nenhum vetor na base que seja mapeado para zero por
.
Exercícios relacionados
(b) Mostre que o vetor
é ortogonal ao vetor
.
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de
:
Dadas as afirmações abaixo:
Duas arestas quaisquer, não paralelas, de um hexaedro regular e uma diagonal de qualquer face representam vetores que constituem base no .
Duas arestas quaisquer, não paralelas, de um hexaedro regular e uma diagonal de qualquer face representam vetores que constituem base no
(b) De acordo com o item anterior, o ângulo entre o vetor
e o vetor
é
( ) ( ) menor que
( ) maior que
;
( ) impossível afirmar algo sobre o ângulo com as informações dadas. Assinale uma das alternativas anteriores e justifique.
( )
( ) impossível afirmar algo sobre o ângulo com as informações dadas. Assinale uma das alternativas anteriores e justifique.