Seja uma transformação linear e suponha que . A notação (a) Mostre que existe um elemento não nulo tal que .
(b) Se é uma base arbitrária de , existe sempre um vetor tal que ? Prove ou dê um contra-exemplo.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma transformação linear onde as dimensões dos espaços são tais que e ambos são espaços finitos. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como o Teorema do Núcleo e a Teoria da Dimensão, para resolver as partes (a) e (b) do exercício.

Passo 2

Primeiro, para a parte (a), queremos mostrar que existe um vetor não nulo tal que . Isso está relacionado ao núcleo da transformação linear , que é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em .

Passo 3

Segundo o Teorema do Núcleo e Imagem, sabemos que:
Onde é a imagem de e é o núcleo de .

Passo 4

Como e , então:
Substituindo na equação do Teorema do Núcleo e Imagem, temos:
Isso implica que , ou seja, existe pelo menos um vetor no núcleo de além do vetor zero.

Passo 5

Portanto, existe um vetor não nulo tal que . Isso conclui a parte (a).

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos saber se, para uma base arbitrária de , sempre existe um vetor tal que .

Passo 7

Vamos considerar uma base de . Se contém pelo menos um vetor, e , não necessariamente um dos vetores da base estará no núcleo.

Passo 8

Para verificar isso, vamos dar um contra-exemplo. Seja , , e a transformação linear definida por .

Passo 9

Aqui, . O núcleo de é o conjunto de vetores , que forma uma linha no plano. Se escolhermos a base , vemos que e . Nesse caso, existe um vetor na base que está no núcleo.

Passo 10

No entanto, se escolhermos outra base, por exemplo , então:
Nenhum dos vetores dessa base está no núcleo, mas o núcleo ainda existe.

Passo 11

Isso mostra que, embora o núcleo não seja vazio, não há garantia de que algum vetor de uma base arbitrária esteja no núcleo. Portanto, nem sempre existe um vetor tal que .

Resposta

(a) Existe um vetor não nulo tal que .
(b) Não, nem sempre existe um vetor da base que está no núcleo de . O contra-exemplo com mostra que pode não haver nenhum vetor na base que seja mapeado para zero por .

Exercícios relacionados

(b) Mostre que o vetor é ortogonal ao vetor .
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de :
Dadas as afirmações abaixo:
Duas arestas quaisquer, não paralelas, de um hexaedro regular e uma diagonal de qualquer face representam vetores que constituem base no .
(b) De acordo com o item anterior, o ângulo entre o vetor e o vetor é
( ) ( ) menor que ( ) maior que ;
( ) impossível afirmar algo sobre o ângulo com as informações dadas. Assinale uma das alternativas anteriores e justifique.